名古屋工業大学 工学研究科 物理工学系 2020年度 問題11 基礎物理数学

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• 名古屋工业大学
• 一阶常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 梯度、散度与旋度
• 特征值与特征向量
• 简正模与耦合振子

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

(1) 定数 $k,f$ に対し、$u'(t)+ku(t)=f$、$u(0)=1$ を考える。(1a) $f=0$ の場合、(1b) $f>0$ の場合の解 $u(t)$ を求めよ。

(2) $x''(t)+2x'(t)+2x(t)=0$ を考える。(2a) 一般解を書け。(2b) $x(0)=1$、$x'(0)=0$ を満たす特殊解を求めよ。

(3) 重心を通る $z$ 軸の周りを一定角速度 $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol k$ で回転する剛体を考える。重心を原点とし、$\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k$、$\boldsymbol V=u\boldsymbol i+v\boldsymbol j+w\boldsymbol k=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r$ とする。$\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ は直交座標の単位基底である。(3a) $(u,v,w)$ を求めよ。(3b) $\operatorname{rot}\boldsymbol V=\nabla\times\boldsymbol V$ の各成分を求めよ。

II

(1) 次の行列式を求めよ。

$$\begin{vmatrix}3&2&0\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}.$$

(2) 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

$$B=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-1&4&-1\\0&-2&1\end{pmatrix}.$$

(3) 自然長 $a$、ばね定数 $k$ の二つのばねでつながれた、質量 $m$ の三つの質点を考える。位置 $x_1,x_2,x_3$ の運動方程式は

$$\begin{aligned} m\ddot x_1&=k(x_2-x_1-a),\\ m\ddot x_2&=k(x_3-x_2-a)-k(x_2-x_1-a)=k(x_1-2x_2+x_3),\\ m\ddot x_3&=-k(x_3-x_2-a) \end{aligned}$$

である。$x_1=A_1\cos\omega t$、$x_2=A_2\cos\omega t+a$、$x_3=A_3\cos\omega t+2a$ とおき、固有値方程式を示し、固有値 $\omega^2$ をすべて求めよ。さらに最大の $\omega^2$ に対応する単位固有ベクトル $(A_1,A_2,A_3)$ を求めよ。$\omega_0^2=k/m$ とし、解答では $k,m$ の代わりに $\omega_0$ を用いよ。

题目描述

I

1. 常数 $k,f$ 满足 $u'+ku=f$、$u(0)=1$，分别求 $f=0$ 与 $f>0$ 时的解。
2. 求 $x''+2x'+2x=0$ 的通解，以及满足 $x(0)=1,x'(0)=0$ 的特解。
3. 刚体绕经过重心的 $z$ 轴以角速度 $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol k$ 匀速转动，速度场 $\boldsymbol V=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r$。求速度分量及旋度各分量。

II

1. 计算日文题目 II(1) 所给三阶行列式。
2. 求 II(2) 中矩阵 $B$ 的特征值与特征向量。
3. 三个质量均为 $m$ 的质点由自然长度 $a$、弹簧常数 $k$ 的两根弹簧连接。运动方程和振动形式如上。令 $\omega_0^2=k/m$，列出特征值方程，求全部 $\omega^2$，并求最大特征值对应的单位振幅向量。答案以 $\omega_0$ 代替 $k,m$。

Kai

I (1)

積分因子 $e^{kt}$ を掛けると $(e^{kt}u)'=fe^{kt}$ である。

(1a) $f=0$ では $\boxed{u(t)=e^{-kt}}$。

(1b) $f>0$ では、

$$\boxed{u(t)=\begin{cases}\dfrac fk+\left(1-\dfrac fk\right)e^{-kt}&(k\ne0),\\1+ft&(k=0).\end{cases}}$$

I (2)

特性方程式 $\lambda^2+2\lambda+2=0$ の根は $-1\pm i$。したがって、

$$\boxed{x(t)=e^{-t}(C_1\cos t+C_2\sin t)}.$$

$x(0)=C_1=1$、$x'(0)=C_2-C_1=0$ より、

$$\boxed{x(t)=e^{-t}(\cos t+\sin t)}.$$

I (3)

外積を計算すると

$$\boxed{(u,v,w)=(-\Omega y,\Omega x,0)}.$$

したがって

$$\boxed{\nabla\times\boldsymbol V=(0,0,\partial_x(\Omega x)-\partial_y(-\Omega y))=(0,0,2\Omega)}.$$

II (1)

第一行で展開して、

$$\boxed{3\{(-1)(-1)-1\}-2\{1(-1)-2\}=6}.$$

II (2)

$$\det(B-\lambda I)=-\lambda(\lambda-1)(\lambda-5).$$

各根を代入すると、固有値と固有ベクトルは次の通り。$c\ne0$ は任意である。

$$\boxed{\begin{array}{c|c} \lambda&\boldsymbol v\\\hline 0&c(2,1,2)^{\mathsf T}\\ 1&c(1,0,-1)^{\mathsf T}\\ 5&c(1,-2,1)^{\mathsf T} \end{array}}$$

II (3)

定数部分は自然長と相殺され、振幅に関する式は

$$\boxed{\omega_0^2 \begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{pmatrix} =\omega^2\begin{pmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{pmatrix}}.$$

$\lambda=\omega^2/\omega_0^2$ とおけば特性多項式は $-\lambda(\lambda-1)(\lambda-3)$。よって

$$\boxed{\omega^2=0,\ \omega_0^2,\ 3\omega_0^2}.$$

ゼロ固有値は三質点が同じだけ動く並進モードに対応する。最大固有値では $A_1=A_3=-A_2/2$ なので、単位固有ベクトルは

$$\boxed{\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^{\mathsf T}}$$

である（全体の符号を反転してもよい）。

Reference

• 大学公式問題（2–3ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答