名古屋工業大学 工学研究科 物理工学系 2019年8月実施 問題11 基礎物理数学

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• 一阶常微分方程
• 二阶线性常微分方程
• 梯度、散度与旋度
• 特征值与特征向量
• 简正模与耦合振子

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

設問すべてについて解答すること。設問 I の解答を解答用紙の表面に、設問 II の解答を解答用紙の裏面にそれぞれ記入すること。また、最終的な解答結果には下線を引いて明記すること。

I

次の (1)～(3) の問いについて答えよ。

(1) 次の $1$ 階常微分方程式

$$\frac{du(t)}{dt}+ku(t)=f$$

の解を求める。ここで $k,f$ はある定数である。$t=0$ における初期条件が $u(0)=1$ であるとき、以下の設問に答えよ。

(1a) $f=0$ のとき、$u(t)$ を求めよ。

(1b) $f>0$ のとき、$u(t)$ を求めよ。

(2) 物理の諸問題に現れる $2$ 階常微分方程式として、

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\frac{dx(t)}{dt}+2x(t)=0$$

がある。ここで $x(t)$ はある物理量を表す変数である。以下の設問に答えよ。

(2a) この微分方程式の一般解を書け。

(2b) $t=0$ における初期条件が $x(0)=1$、$\dfrac{dx(0)}{dt}=0$ で与えられるとき、特殊解 $x(t)$ を求めよ。

(3) 剛体の回転運動を考える。剛体の重心を通る回転軸は $z$ 軸と一致し、その周りを一定の角速度 $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol k$ で回転している。重心を原点とする位置ベクトルを $\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k$ とするとき、剛体内の点 $\boldsymbol r$ における速度 $\boldsymbol V=u\boldsymbol i+v\boldsymbol j+w\boldsymbol k$ は $\boldsymbol V=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r$ で与えられる。ここで $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ はデカルト座標系における直交基底単位ベクトルである。以下の設問に答えよ。

(3a) $\boldsymbol V$ の各成分 $(u,v,w)$ を求めよ。

(3b) $\operatorname{rot}\boldsymbol V=\nabla\times\boldsymbol V$ の各成分を求めよ。ここで $\nabla=\dfrac\partial{\partial x}\boldsymbol i+\dfrac\partial{\partial y}\boldsymbol j+\dfrac\partial{\partial z}\boldsymbol k$ である。

II

次の (1)～(3) の問いについて答えよ。解答は、解答用紙の裏面に記入すること。

(1) 次の行列式を求めよ。

$$\begin{vmatrix}3&2&0\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}$$

(2) 次の固有値方程式を満たす固有値と固有ベクトルを求めよ。

$$\begin{pmatrix}1&-2&0\\-1&4&-1\\0&-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

(3) ばね（自然長 $a$、ばね定数 $k$）でつながれた $3$ つの質点（質量 $m$）について考える（図1）。これら $3$ つの質点の連成振動に対する運動方程式は、次式で与えられる。

$$\begin{aligned} m\frac{d^2x_1}{dt^2}&=k(x_2-x_1-a),\\ m\frac{d^2x_2}{dt^2}&=k(x_3-x_2-a)-k(x_2-x_1-a)\\ &=k(x_1-2x_2+x_3),\\ m\frac{d^2x_3}{dt^2}&=-k(x_3-x_2-a). \end{aligned}$$

ここで $x_1,x_2,x_3$ は質点 $1,2,3$ の位置を示す。質点の角振動数を $\omega$ とすると、$x_1,x_2,x_3$ は以下のように表すことができる。

$$\begin{aligned} x_1&=A_1\cos\omega t,\\ x_2&=A_2\cos\omega t+a,\\ x_3&=A_3\cos\omega t+2a. \end{aligned}$$

ここで $A_1,A_2,A_3$ は質点 $1,2,3$ の振幅である。この連成振動に対する固有値方程式を示し、固有値 $\omega^2$ をすべて求めよ。さらに、最大の固有値 $\omega^2$ に対する固有ベクトル $(A_1,A_2,A_3)$ を求めよ。ただし $\omega_0^2=k/m$ として、解答には $k$ と $m$ は用いず、$\omega_0$ を用いることとし、固有ベクトルは単位ベクトルにすること。

题目描述

回答全部问题。将 I 的答案写在答题纸正面，将 II 的答案写在背面。最终答案须加下划线，明确标出。

I 回答下列 (1)～(3)。

(1) 求解一阶常微分方程

$$\frac{du(t)}{dt}+ku(t)=f,$$

其中 $k,f$ 为常数。在 $t=0$ 时给定初始条件 $u(0)=1$，回答以下问题。

(1a) 当 $f=0$ 时，求 $u(t)$。

(1b) 当 $f>0$ 时，求 $u(t)$。

(2) 物理问题中出现的一个二阶常微分方程为

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\frac{dx(t)}{dt}+2x(t)=0,$$

其中 $x(t)$ 是表示某物理量的变量。回答以下问题。

(2a) 写出该微分方程的通解。

(2b) 若 $t=0$ 时的初始条件为 $x(0)=1$、$\dfrac{dx(0)}{dt}=0$，求特解 $x(t)$。

(3) 考虑刚体的转动。通过刚体重心的转轴与 $z$ 轴重合，刚体以恒定角速度 $\boldsymbol\Omega=\Omega\boldsymbol k$ 绕其转动。以重心为原点，位置向量为 $\boldsymbol r=x\boldsymbol i+y\boldsymbol j+z\boldsymbol k$。刚体内位置 $\boldsymbol r$ 处的速度为 $\boldsymbol V=u\boldsymbol i+v\boldsymbol j+w\boldsymbol k=\boldsymbol\Omega\times\boldsymbol r$。这里 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 为笛卡尔坐标系的正交单位基向量。回答以下问题。

(3a) 求 $\boldsymbol V$ 的各分量 $(u,v,w)$。

(3b) 求 $\operatorname{rot}\boldsymbol V=\nabla\times\boldsymbol V$ 的各分量，其中 $\nabla=\dfrac\partial{\partial x}\boldsymbol i+\dfrac\partial{\partial y}\boldsymbol j+\dfrac\partial{\partial z}\boldsymbol k$。

II 回答下列 (1)～(3)，将答案写在答题纸背面。

(1) 求下列行列式。

$$\begin{vmatrix}3&2&0\\1&-1&1\\2&1&-1\end{vmatrix}$$

(2) 求满足下列特征值方程的特征值和特征向量。

$$\begin{pmatrix}1&-2&0\\-1&4&-1\\0&-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

(3) 考虑由弹簧（自然长度 $a$、弹簧常数 $k$）连接的三个质点（质量均为 $m$），如图1所示。三个质点耦合振动的运动方程为

$$\begin{aligned} m\frac{d^2x_1}{dt^2}&=k(x_2-x_1-a),\\ m\frac{d^2x_2}{dt^2}&=k(x_3-x_2-a)-k(x_2-x_1-a)\\ &=k(x_1-2x_2+x_3),\\ m\frac{d^2x_3}{dt^2}&=-k(x_3-x_2-a). \end{aligned}$$

其中 $x_1,x_2,x_3$ 为质点 $1,2,3$ 的位置。设质点的角频率为 $\omega$，则可写成

$$\begin{aligned} x_1&=A_1\cos\omega t,\\ x_2&=A_2\cos\omega t+a,\\ x_3&=A_3\cos\omega t+2a. \end{aligned}$$

其中 $A_1,A_2,A_3$ 为质点 $1,2,3$ 的振幅。写出该耦合振动的特征值方程，并求全部特征值 $\omega^2$。再求最大特征值 $\omega^2$ 对应的特征向量 $(A_1,A_2,A_3)$。令 $\omega_0^2=k/m$，答案须用 $\omega_0$ 表示，不使用 $k,m$；特征向量须归一化为单位向量。

Kai

I (1)

積分因子 $e^{kt}$ を掛けると $(e^{kt}u)'=fe^{kt}$ である。

(1a) $f=0$ では $\boxed{u(t)=e^{-kt}}$。

(1b) $f>0$ では、

$$\boxed{u(t)=\begin{cases}\dfrac fk+\left(1-\dfrac fk\right)e^{-kt}&(k\ne0),\\1+ft&(k=0).\end{cases}}$$

I (2)

特性方程式 $\lambda^2+2\lambda+2=0$ の根は $-1\pm i$。したがって、

$$\boxed{x(t)=e^{-t}(C_1\cos t+C_2\sin t)}.$$

$x(0)=C_1=1$、$x'(0)=C_2-C_1=0$ より、

$$\boxed{x(t)=e^{-t}(\cos t+\sin t)}.$$

I (3)

外積を計算すると

$$\boxed{(u,v,w)=(-\Omega y,\Omega x,0)}.$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \nabla\times\boldsymbol V=(0,0,\partial_x(\Omega x)-\partial_y(-\Omega y))\\ =(0,0,2\Omega) \end{gathered}}.$$

II (1)

第一行で展開して、

$$\boxed{3\{(-1)(-1)-1\}-2\{1(-1)-2\}=6}.$$

II (2)

$$\det(B-\lambda I)=-\lambda(\lambda-1)(\lambda-5).$$

各根を代入すると、固有値と固有ベクトルは次の通り。$c\ne0$ は任意である。

$$\boxed{\begin{array}{c|c} \lambda&\boldsymbol v\\\hline 0&c(2,1,2)^{\mathsf T}\\ 1&c(1,0,-1)^{\mathsf T}\\ 5&c(1,-2,1)^{\mathsf T} \end{array}}$$

II (3)

定数部分は自然長と相殺され、振幅に関する式は

$$\boxed{\omega_0^2 \begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{pmatrix} =\omega^2\begin{pmatrix}A_1\\A_2\\A_3\end{pmatrix}}.$$

$\lambda=\omega^2/\omega_0^2$ とおけば特性多項式は $-\lambda(\lambda-1)(\lambda-3)$。よって

$$\boxed{\omega^2=0,\ \omega_0^2,\ 3\omega_0^2}.$$

ゼロ固有値は三質点が同じだけ動く並進モードに対応する。最大固有値では $A_1=A_3=-A_2/2$ なので、単位固有ベクトルは

$$\boxed{\frac1{\sqrt6}(1,-2,1)^{\mathsf T}}$$

である（全体の符号を反転してもよい）。

Reference

• 大学公式問題（2–3ページ（公式PDFの保存版））
• Miyake：対応する解答