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名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学）2022年度 問題24（熱力学）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

ピストンとシリンダからなる閉じた系に、質量 m kgm\ \mathrm{kg}、気体定数 R J/(kg⋅K)R\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} の理想気体を封入する。圧力を p Pap\ \mathrm{Pa}、温度を T KT\ \mathrm K、体積を V m3V\ \mathrm{m^3} とし、比熱比は κ=7/5\kappa=7/5。比熱は cp−cv=Rc_p-c_v=R を満たす。周囲の圧力 p0p_0 と温度 T0T_0 は一定である。熱は系が受け取る向き、仕事は系が外部にする向きを正とする。

状態1の圧力・温度は 20p0,2T020p_0,2T_0。まず可逆断熱膨張によって温度 T0T_0 の状態 MM へ、次いで温度 T0T_0 の等温膨張によって圧力 p0p_0、体積 V0V_0 の状態0へ変化する。

  1. 状態0の体積 V0V_0 を p0,T0,m,Rp_0,T_0,m,R の必要な記号で表せ。
  2. 状態1の体積 V1V_1 を p0,T0,V0,m,Rp_0,T_0,V_0,m,R の必要な記号で表せ。
  3. 定積比熱 cvc_v と定圧比熱 cpc_p を RR で表せ。
  4. 状態 MM の体積 VMV_M を p0,T0,V0,m,Rp_0,T_0,V_0,m,R の必要な記号で表せ。
  5. 状態 1→M1\to M の絶対仕事（体積変化による仕事）を p0,T0,V0,m,Rp_0,T_0,V_0,m,R の必要な記号で表せ。
  6. 状態 M→0M\to0 で周囲から得る熱を p0,T0,V0,m,Rp_0,T_0,V_0,m,R の必要な記号で表せ。
  7. 状態 1→M→01\to M\to0 の絶対仕事を T0,m,RT_0,m,R の必要な記号で表せ。
  8. 内部エネルギーの差 U1−U0U_1-U_0 を T0,m,RT_0,m,R の必要な記号で表せ。
  9. エントロピーの差 S1−S0S_1-S_0 を T0,m,RT_0,m,R の必要な記号で表せ。
  10. 状態1のエクセルギー E1=(U1−U0)−T0(S1−S0)+p0(V1−V0)E_1=(U_1-U_0)-T_0(S_1-S_0)+p_0(V_1-V_0) を T0,m,RT_0,m,R の必要な記号で表せ。添字0は周囲と平衡にある状態を示す。

题目描述​

质量为 mm、气体常数为 RR、比热比 7/57/5 的封闭理想气体，初态为 (20p0,2T0)(20p_0,2T_0)。先可逆绝热膨胀至环境温度 T0T_0，再等温膨胀至环境压力 p0p_0。吸热与对外做功为正。依次求终态和初态体积、两比热、中间体积、绝热功、等温吸热、总边界功、初末内能差与熵差，并按给定闭口系公式求初态㶲。各问使用日文题面指定的参数。

Kai​

(1)​

状態方程式より V0=mRT0/p0\boxed{V_0=mRT_0/p_0}。

(2)​

V1=mR(2T0)20p0=V010.\boxed{V_1=\frac{mR(2T_0)}{20p_0}=\frac{V_0}{10}}.

(3)​

cp/cv=7/5c_p/c_v=7/5 と cp−cv=Rc_p-c_v=R より

cv=52R,cp=72R.\boxed{c_v=\frac52R,\qquad c_p=\frac72R}.

(4)​

可逆断熱変化では TVκ−1TV^{\kappa-1} が一定。したがって

VM=V1(2T0T0)1/(κ−1)=225V0.\boxed{V_M=V_1\left(\frac{2T_0}{T_0}\right)^{1/(\kappa-1)} =\frac{2\sqrt2}{5}V_0}.

(5)​

熱力学第一法則と断熱条件から

W1M=mcv(2T0−T0)=52mRT0.\boxed{W_{1M}=m c_v(2T_0-T_0)=\frac52mRT_0}.

(6)​

等温理想気体では内部エネルギーが一定なので

QM0=WM0=mRT0ln⁡V0VM=mRT0ln⁡524.\boxed{Q_{M0}=W_{M0}=mRT_0\ln\frac{V_0}{V_M} =mRT_0\ln\frac{5\sqrt2}{4}}.

(7)​

W10=W1M+WM0=mRT0(52+ln⁡524).\boxed{W_{10}=W_{1M}+W_{M0}=mRT_0\left(\frac52+\ln\frac{5\sqrt2}{4}\right)}.

(8)​

U1−U0=mcv(T1−T0)=52mRT0.\boxed{U_1-U_0=m c_v(T_1-T_0)=\frac52mRT_0}.

(9)​

S1−S0=m(cvln⁡T1T0+Rln⁡V1V0)=mR(52ln⁡2−ln⁡10)=−mRln⁡524.\begin{aligned} S_1-S_0&=m\left(c_v\ln\frac{T_1}{T_0}+R\ln\frac{V_1}{V_0}\right)\\ &=mR\left(\frac52\ln2-\ln10\right) =\boxed{-mR\ln\frac{5\sqrt2}{4}}. \end{aligned}

(10)​

p0(V1−V0)=−9mRT0/10p_0(V_1-V_0)=-9mRT_0/10 と (8), (9) を代入すると

E1=mRT0(85+ln⁡524).\boxed{E_1=mRT_0\left(\frac85+\ln\frac{5\sqrt2}{4}\right)}.

可逆過程の絶対仕事から周囲を押しのける仕事を引いた W10−p0(V0−V1)W_{10}-p_0(V_0-V_1) とも一致する。

Reference​

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