名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学）2022年度 問題23（流体力学）

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• 名古屋工业大学
• 管道沿程损失
• 局部水头损失
• 量纲分析与相似律
• 升力与阻力
• 涡度与流函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I

水位一定の貯水タンクから、材質と直径が異なる3本の水平円管を順に通り、水が出口速度 $v$ で大気中へ放出される。円管 $1,2,3$ の直径は $d_1,d_2,d_3$（$d_3<d_1<d_2$）、長さは $l_1,l_2,l_3$（$l_2<l_3<l_1$）、管摩擦係数は $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$。タンクから管1への入口損失係数を $\zeta_1$、管1から2への急拡大損失係数を $\zeta_2$、管2から3への急縮小損失係数を $\zeta_3$ とし、重力加速度を $g$ とする。解答は問題文に現れる文字だけを用いること。

1. 全摩擦損失ヘッド $h_f$ を求めよ。
2. 急拡大損失係数 $\zeta_2$ を求めよ。
3. $\zeta_2$ を用いて全局所損失ヘッド $h_s$ を求めよ。
4. $h_f,h_s$ を用いて、管中心からタンク水面までの高さ $H$ を求めよ。

II

長さ $[L]$、質量 $[M]$、時間 $[T]$ を用いて次の物理量の次元を示せ。

1. 質量流量
2. 圧力
3. 粘度（粘性係数）
4. 表面張力
5. 動力

III

複素平面 $z=x+iy$ 上の二次元ポテンシャル流を考える。

1. 流速 $V$ で $y$ 軸正方向へ流れる一様流の複素ポテンシャル $W(z)$ を求めよ。
2. $x$ 軸正方向の流速 $U$ の一様流中に、半径 $R$、循環 $\Gamma$（時計回りを正）の回転円柱がある。粘度を $\mu$、密度を $\rho$ として、単位幅当たりの揚力 $L$ とその向きを求めよ。
3. $y\ge0$ で流速 $U_1$、$y<0$ で $U_2$（$U_2>U_1>0$）の $x$ 軸正方向への平行流による渦層がある。$A(l,h),B(-l,h),C(-l,-h),D(l,-h)$ を頂点とする長方形 $ABCD$ を囲む循環 $\Gamma$ を、反時計回り正として求めよ。

题目描述

I：定水位水箱通过三段水平圆管向大气排水，出口速度为 $v$，三段直径满足 $d_3<d_1<d_2$、长度满足 $l_2<l_3<l_1$。已给沿程摩阻系数、入口及扩缩口局部损失系数，求总沿程损失水头、突然扩大损失系数、总局部损失水头以及所需水位高度。II：写出质量流量、压力、动力黏度、表面张力、功率的质量—长度—时间量纲。III：求沿正 $y$ 方向均匀流的复势；求带顺时针环量圆柱在正 $x$ 方向来流中的单位跨度升力；求上下层速度分别为 $U_1,U_2$ 的涡层周围给定矩形的逆时针环量。

Kai

I (1)

連続の式により、管 $i$ の平均流速は $(d_3/d_i)^2v$。各管の Darcy–Weisbach 損失を加えて

$$\boxed{h_f=\frac{v^2}{2g}\left[\lambda_1\frac{l_1}{d_1}\left(\frac{d_3}{d_1}\right)^4+\lambda_2\frac{l_2}{d_2}\left(\frac{d_3}{d_2}\right)^4+\lambda_3\frac{l_3}{d_3}\right]}.$$

I (2)

急拡大による損失は上流・下流速度差の二乗を $2g$ で割ったものとなる。上流の管1の速度ヘッドを基準とすれば、連続の式から

$$\boxed{\zeta_2=\left[1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\right]^2}.$$

I (3)

入口・急拡大は管1の速度、急縮小は下流の管3の速度を基準とする。

$$\boxed{h_s=\frac{v^2}{2g}\left[(\zeta_1+\zeta_2)\left(\frac{d_3}{d_1}\right)^4+\zeta_3\right]}.$$

I (4)

水面と出口の圧力はともに大気圧で、水面速度を無視すると、ベルヌーイの式より

$$\boxed{H=\frac{v^2}{2g}+h_f+h_s}.$$

II

小問	物理量	定義に基づく次元
(1)	質量流量	$[MT^{-1}]$
(2)	圧力＝力／面積	$[ML^{-1}T^{-2}]$
(3)	粘度＝せん断応力／速度勾配	$[ML^{-1}T^{-1}]$
(4)	表面張力＝力／長さ	$[MT^{-2}]$
(5)	動力＝仕事／時間	$[ML^2T^{-3}]$

III (1)

$dW/dz=u-iv=-iV$ を積分して、加法定数を除き

$$\boxed{W(z)=-iVz}.$$

III (2)

クッタ–ジューコフスキーの定理より

$$\boxed{L=\rho U\Gamma}.$$

時計回りの正の循環では円柱上側の流速が大きく、揚力は $+y$ 方向。符号付きでは $F_y=\rho U\Gamma$ であり、循環が負なら向きは逆になる。非粘性ポテンシャル流の結果には $\mu,R$ は現れない。

III (3)

鉛直辺の寄与は0、上辺 $A\to B$ の寄与は $-2lU_1$、下辺 $C\to D$ の寄与は $2lU_2$ であるから

$$\boxed{\Gamma=2l(U_2-U_1)>0}.$$

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 6–7ページ