名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学）2022年度 問題18（制御工学）

标签：

• 名古屋工业大学
• 二阶系统阻尼
• 传递函数
• 波德图与稳定裕度
• 拉普拉斯变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

I

入力 $r(t)$ と出力 $y(t)$ の偏差 $r(t)-y(t)$ に $H(s)$、続いて $G(s)$ を直列に作用させ、出力を単位負帰還する系を考える。

1. $G(s)=1/[s(s+4)],\ H(s)=K$ とする。$r$ から $y$ への伝達関数の減衰係数が $1/\sqrt2$ となる実数 $K$ を求めよ。
2. $G(s)=1/[s(s+4)],\ H(s)=as+b$ とする。系の極が $\{-1,-10\}$ となる実数 $a,b$ を求めよ。
3. $G(s)=1/[s(s+p)],\ H(s)=5$ とする。単位ステップ入力 $r(t)$ に対して $r(t)-y(t)=e^{-t}(\cos2t+\tfrac12\sin2t)$ となった。実数 $p$ を求めよ。

II

共通接地をもつ回路において、入力端子から抵抗 $R$、インダクタ $L$ が直列につながる。$R$ と $L$ の接続点から接地へコンデンサ $C$、$L$ の後の出力端子から接地へ抵抗 $R$ がつながる。入力電圧を $v_i(t)$、出力端子電圧を $v_o(t)$ とするとき、伝達関数を求めよ。

III

$$G(s)=a\frac{(s+b)(s+c)}{s^d(s+f)}$$

とする。$d$ は整数、$a,b,c,f$ は正の実数で $b<c$。次図は横軸を対数目盛としたゲイン線図の折れ線近似である。$(a,b,c,d,f)$ を $\omega_1,\ldots,\omega_4$ を適宜用いて求めよ。

傾きは低周波側から $-20,0,-20,0\ \mathrm{dB/dec}$、折れ点は $\omega_1,\omega_2,\omega_4$、下降区間の $0\ \mathrm{dB}$ 交点は $\omega_3$ であり、$\omega_1<\omega_2<\omega_3<\omega_4$ である。

IV

次の関数のラプラス変換を求めよ。

$$f(t)=\begin{cases}0&t<0,\\1&0\le t<1,\\2&1\le t<2,\\0&t\ge2.\end{cases}$$

题目描述

I：在单位负反馈、前向串联 $H(s)G(s)$ 的系统中，分别根据指定阻尼比、极点和单位阶跃误差求 $K,a,b,p$。II：输入依次串联电阻 $R$ 和电感 $L$，中间节点经电容 $C$ 接地，输出节点经另一电阻 $R$ 接地，求输入输出电压传递函数。III：根据图示折线增益曲线确定给定传递函数的五个参数，其中三个折点为 $\omega_1,\omega_2,\omega_4$，$0\ \mathrm{dB}$ 交点为 $\omega_3$。IV：求区间 $[0,1)$ 上为1、$[1,2)$ 上为2、其余为0的函数的拉普拉斯变换。

Kai

I (1)

$$\frac{Y}{R}=\frac{K}{s^2+4s+K}.$$

標準形 $s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2$ と比べると $\omega_n=\sqrt K,\ \zeta=2/\sqrt K$。よって

$$\boxed{K=8}.$$

I (2)

特性多項式は $s^2+(4+a)s+b$ であり、$(s+1)(s+10)=s^2+11s+10$ と係数比較して

$$\boxed{a=7,\qquad b=10}.$$

I (3)

偏差のラプラス変換は

$$E(s)=\frac1s\frac1{1+5/[s(s+p)]}=\frac{s+p}{s^2+ps+5}.$$

一方、指定応答の変換は $(s+2)/(s^2+2s+5)$ であるから $\boxed{p=2}$。

II

中間節点の電圧を $V_A$ とする。初期値を0として

$$\frac{V_A-V_i}{R}+sCV_A+\frac{V_A}{sL+R}=0,\qquad V_o=\frac{R}{sL+R}V_A.$$

したがって

$$\boxed{\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R}{LCRs^2+(L+CR^2)s+2R}}.$$

III

低周波の傾きから $d=1$。傾きの増減より零点は $\omega_1,\omega_4$、極は $\omega_2$ であり、$b<c$ から $b=\omega_1,c=\omega_4,f=\omega_2$。

$\omega_2<\omega<\omega_4$ の折れ線近似は $|G(i\omega)|\simeq a\omega_4/\omega$。$\omega=\omega_3$ で1となるので

$$\boxed{(a,b,c,d,f)=\left(\frac{\omega_3}{\omega_4},\omega_1,\omega_4,1,\omega_2\right)}.$$

IV

定義積分から

$$F(s)=\int_0^1e^{-st}\,dt+2\int_1^2e^{-st}\,dt =\boxed{\frac{1+e^{-s}-2e^{-2s}}s}.$$

$s=0$ では可除特異点であり $F(0)=3$ である。

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 2–3ページ