名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学） 2021年8月実施 問題25（生産加工）

标签：

• 名古屋工业大学
• Fe–C 相图与杠杆定则
• Hall–Petch 关系
• 应力变换与主应力
• 屈服

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題25　生産加工　設問すべてについて解答すること。

I

次の (1)～(3) の問いについて答えよ。

図1は、Fe-C 系状態図の一部の模式図である。以下、必要に応じて図1を用いよ。

(1) 炭素濃度が $B\ (0.02<B<0.77)$ の材料を $920\,{}^\circ\mathrm{C}$ からゆっくり室温まで冷却した。その組織の初析フェライトとパーライトの比率を、てこの法則に基づいて、濃度 $B$ と図1中の数値を使って示せ。

(2) 拡散変態が起こる範囲では、冷却速度を大きくするほど組織が細かくなる。この理由を「過冷度」、「核生成頻度」、「組織の体積分率」という言葉を使って説明せよ。

(3) 組織の細かさと機械的性質（降伏点）の関係を、ホール－ペッチの式を用いて説明せよ。

II

降伏点 $Y_0$ が $400\ [\mathrm{MPa}]$ の薄肉円管が2本ある。いずれも厚みは $0.10\ [\mathrm{mm}]$、外側の円周長さは $100\ [\mathrm{mm}]$（外側の直径が $100/\pi$、ただし $\pi$ は円周率）、長手方向の全長は $900\ [\mathrm{mm}]$ である。これらの管を以下の方法で降伏させる。以下の問いに答えよ。ただし、降伏は Tresca（トレスカ）の降伏条件に従うとし、小数点以下は切り捨てよ。

(1) 1本目の管を、長手方向に引張って降伏させるために、必要な荷重 $[\mathrm{N}]$ を予想せよ。

(2) 2本目の管を、長手方向に引張りかつ長手方向の軸周りにねじって降伏させるために、必要なせん断応力 $\tau\ [\mathrm{MPa}]$ を予想せよ。ただし、この管の断面（Z 面）には、せん断応力 $\tau$ と引張応力 $\sigma$ が生じており、$\sigma=2\tau$ の条件になっている。$\Theta$ 面には、Z 面のせん断応力に共役なせん断応力が生じていて、またこの面には垂直応力は作用していない。R 面は応力のない面である。円管の R 面、$\Theta$ 面、Z 面の場所については図2に模式的に示す。

(3) 上記の問い (2) に記述した応力状態に対する3個のモールの応力円を示せ。さらに R 面、$\Theta$ 面、Z 面で生じている応力状態を示す点を、これらのモールの応力円上にプロットし、点の近くに R 面、$\Theta$ 面、Z 面と記せ。ただし、管をねじる方向は、時計周りでも反時計周りでも構わない。

题目描述

问题25　生产加工。所有设问均须作答。

I

回答 (1)～(3)。图1为 Fe-C 相图一部分的示意图，以下根据需要使用图1。

(1) 将碳浓度为 $B\ (0.02<B<0.77)$ 的材料从 $920\,{}^\circ\mathrm{C}$ 缓慢冷却至室温。根据杠杆定则，用浓度 $B$ 和图1中的数值表示组织中先共析铁素体与珠光体的比例。

(2) 在发生扩散相变的范围内，冷却速度越大，组织越细。使用“过冷度”“形核频率”“组织的体积分数”三个术语解释其原因。

(3) 用 Hall–Petch 公式解释组织细化程度与机械性能（屈服点）的关系。

II

有两根屈服点 $Y_0=400\ [\mathrm{MPa}]$ 的薄壁圆管。两根管的壁厚均为 $0.10\ [\mathrm{mm}]$，外圆周长为 $100\ [\mathrm{mm}]$（外径为 $100/\pi$，$\pi$ 为圆周率），沿长度方向的全长为 $900\ [\mathrm{mm}]$。按下述方式使管屈服，回答问题。屈服遵从 Tresca 屈服准则，结果舍去小数部分。

(1) 沿长度方向拉伸第一根管，估算使其屈服所需的载荷 $[\mathrm{N}]$。

(2) 沿长度方向拉伸第二根管，同时绕纵轴扭转，估算使其屈服所需的剪应力 $\tau\ [\mathrm{MPa}]$。管的横截面（Z 面）上同时存在剪应力 $\tau$ 与拉应力 $\sigma$，且满足 $\sigma=2\tau$。$\Theta$ 面上有与 Z 面剪应力互等的剪应力，没有法向应力。R 面上没有应力。圆管 R 面、$\Theta$ 面、Z 面的位置如图2所示。

(3) 画出问题 (2) 所述应力状态对应的三个莫尔应力圆。在圆上标出 R 面、$\Theta$ 面、Z 面的应力状态对应的点，并在各点旁注明 R 面、$\Theta$ 面、Z 面。管的扭转方向取顺时针或逆时针均可。

Kai

I (1)

共析温度直上でフェライトの炭素濃度は $0.02\%$、残存オーステナイトは $0.77\%$。後者がパーライトへ変態する。てこの法則より

$$f_\alpha=\frac{0.77-B}{0.77-0.02},\qquad f_P=\frac{B-0.02}{0.77-0.02}.$$

したがって

$$\boxed{\text{初析フェライト}:\text{パーライト}=(0.77-B):(B-0.02)}.$$

I (2)

拡散変態が進む範囲では、冷却速度が大きいほど変態開始までの過冷度が大きくなり、変態の駆動力が増す。その結果、核生成の障壁が低下して核生成頻度が増し、成長に使える時間も短くなる。同程度の組織の体積分率を多数の核から形成すれば、一つの粒が占める体積は小さいため、組織は細かくなる。体積分率を $f$、単位体積中の粒数を $N$ とすれば、平均粒体積はおよそ $f/N$ である。

I (3)

結晶粒径を $d$ とすると

$$\boxed{\sigma_y=\sigma_0+k_y d^{-1/2}},\qquad k_y>0.$$

粒界は転位運動の障害となるため、通常のホール–ペッチ則が成立する粒径範囲では、結晶粒が細かいほど降伏点が高くなる。

II (1)

外径が指定されているので断面積は

$$A=\frac\pi4\{D^2-(D-2t)^2\}=\pi t(D-t)=10-0.01\pi\ \mathrm{mm^2}.$$

単軸引張りで降伏する荷重は $F=Y_0A=3987.433\ldots\ \mathrm N$。切り捨てて

$$\boxed{F=3987\ \mathrm N}.$$

II (2)

$(z,\theta,r)$ 座標の応力行列を

$$\begin{pmatrix}2\tau&\tau&0\\\tau&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

とする。その主応力は $\sigma_1=(1+\sqrt2)\tau,\ \sigma_2=0,\ \sigma_3=(1-\sqrt2)\tau$。Tresca 条件より

$$\sigma_1-\sigma_3=2\sqrt2\tau=400, \qquad \tau=100\sqrt2=141.421\ldots\ \mathrm{MPa}.$$

したがって切り捨てた解答は $\boxed{\tau=141\ \mathrm{MPa}}$。

II (3)

作図には丸める前の $\tau_*=100\sqrt2\ \mathrm{MPa}$ を用いる。3円の直径の両端は $(\sigma_3,\sigma_1),(\sigma_2,\sigma_1),(\sigma_3,\sigma_2)$ であり、最大円の中心は $\tau_*$、半径は $\sqrt2\tau_*=200\ \mathrm{MPa}$。

$Z$ 面のせん断応力を正にとる約束では、各応力点は

$$\boxed{Z:(2\tau_*,\tau_*),\qquad\Theta:(0,-\tau_*),\qquad R:(0,0)}.$$

$Z$ と $\Theta$ の点は最大円の直径の両端に位置する。ねじり方向を逆にすれば、両点は水平軸に関して反転する。

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 10–11ページ