名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学） 2021年8月実施 問題24（熱力学）

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• 名古屋工业大学
• 理想气体的熵与热容
• 㶲（可用能）

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題24　熱力学　設問すべてについて解答すること。

ピストンとシリンダーで構成される閉じた系があり、系の作動物質を理想気体とする。この理想気体の状態を圧力 $p\ [\mathrm{Pa}]$、温度 $T\ [\mathrm{K}]$、体積 $V\ [\mathrm{m^3}]$ で表し、気体の質量を $m\ [\mathrm{kg}]$、気体定数を $R\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ で表す。ここで、比熱比 $\kappa$ の値を $\kappa=7/5$ とする。この閉じた系の周囲（外界）の圧力と温度はそれぞれ $p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$T_0\ [\mathrm{K}]$ であり、これらの値は常に一定に保たれる。なお、理想気体の定積比熱 $c_v\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ と定圧比熱 $c_p\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ の間にはマイヤーの関係 $c_p-c_v=R$ が成立する。

下図に示す過程でこの系が状態1から状態0まで状態変化する（状態1 $\to$ 状態 M $\to$ 状態0）。ここで、状態1の圧力と温度をそれぞれ $20p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$2T_0\ [\mathrm{K}]$ とし、状態0の圧力、温度、体積をそれぞれ $p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$T_0\ [\mathrm{K}]$、$V_0\ [\mathrm{m^3}]$ とする。以下の問いに答えよ。ただし、熱と仕事の符号（正負）については、系が外部から熱を得る場合（系の内部エネルギーが増加する場合）を「正」、外部に仕事をする場合を「正」とする。

次の (1)～(10) の問いに答えよ。

(1) 状態0での気体の体積 $V_0$ を $p_0,T_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(2) 状態1での気体の体積 $V_1$ を $p_0,T_0,V_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(3) この理想気体の定積比熱 $c_v$ と定圧比熱 $c_p$ の値を気体定数 $R$ を用いて表せ。

(4) 系が状態1から可逆断熱変化してその温度が $T_0$ になった。このときの系の状態を記号 M で表す。状態 M の気体の体積 $V_M$ を $p_0,T_0,V_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(5) 状態1から状態 M までの可逆断熱変化により系がする絶対仕事（気体の体積変化による仕事）を $p_0,T_0,V_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(6) 状態 M から状態0までの等温変化 $(T_0)$ により系が周囲から得る熱を $p_0,T_0,V_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(7) 系が図に示す過程で状態1から状態0まで変化するとき、系の絶対仕事を $T_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

閉じた系が状態1にあるとき、そのエクセルギー $E_1$ は

$$E_1=(U_1-U_0)-T_0(S_1-S_0)+p_0(V_1-V_0)$$

で与えられる。ここで、$U\ [\mathrm{J}]$、$S\ [\mathrm{J/K}]$ はそれぞれ内部エネルギー、エントロピーを表す。また、添字0は系が周囲（外界）と平衡にあることを表す。

(8) 内部エネルギーの変化 $U_1-U_0$ を求めて、$T_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(9) エントロピーの変化 $S_1-S_0$ を求めて、$T_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

(10) エクセルギー $E_1$ を求めて、$T_0,m,R$ から必要な記号を用いて表せ。

题目描述

问题24　热力学。所有设问均须作答。

一个由活塞和气缸构成的闭口系统以理想气体为工质。气体状态用压力 $p\ [\mathrm{Pa}]$、温度 $T\ [\mathrm{K}]$、体积 $V\ [\mathrm{m^3}]$ 表示，质量为 $m\ [\mathrm{kg}]$，气体常数为 $R\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$。比热比为 $\kappa=7/5$。系统周围环境的压力和温度分别为 $p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$T_0\ [\mathrm{K}]$，始终保持不变。理想气体的定容比热 $c_v\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ 与定压比热 $c_p\ [\mathrm{J/(kg\cdot K)}]$ 满足迈耶关系 $c_p-c_v=R$。

系统按图示过程从状态1变到状态0（状态1 $\to$ 状态 M $\to$ 状态0）。状态1的压力和温度分别为 $20p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$2T_0\ [\mathrm{K}]$，状态0的压力、温度和体积分别为 $p_0\ [\mathrm{Pa}]$、$T_0\ [\mathrm{K}]$、$V_0\ [\mathrm{m^3}]$。回答以下问题。热量与功的符号规定如下：系统从外界吸热（系统内能增加）为正，系统对外做功为正。

回答 (1)～(10)。

(1) 从 $p_0,T_0,m,R$ 中选取所需符号，表示状态0的气体体积 $V_0$。

(2) 从 $p_0,T_0,V_0,m,R$ 中选取所需符号，表示状态1的气体体积 $V_1$。

(3) 用气体常数 $R$ 表示该理想气体的定容比热 $c_v$ 和定压比热 $c_p$。

(4) 系统从状态1经历可逆绝热过程，温度降至 $T_0$。将此状态记为 M。从 $p_0,T_0,V_0,m,R$ 中选取所需符号，表示状态 M 的气体体积 $V_M$。

(5) 从 $p_0,T_0,V_0,m,R$ 中选取所需符号，表示状态1到状态 M 的可逆绝热过程中系统所做的绝对功（气体体积变化所做的功）。

(6) 从 $p_0,T_0,V_0,m,R$ 中选取所需符号，表示状态 M 到状态0的等温过程 $(T_0)$ 中系统从环境吸收的热量。

(7) 从 $T_0,m,R$ 中选取所需符号，表示系统按图示过程从状态1变到状态0时所做的绝对功。

闭口系统处于状态1时，其火用 $E_1$ 为

$$E_1=(U_1-U_0)-T_0(S_1-S_0)+p_0(V_1-V_0).$$

其中，$U\ [\mathrm{J}]$、$S\ [\mathrm{J/K}]$ 分别表示内能和熵。下标0表示系统与周围环境处于平衡。

(8) 求内能差 $U_1-U_0$，并用 $T_0,m,R$ 中所需的符号表示。

(9) 求熵差 $S_1-S_0$，并用 $T_0,m,R$ 中所需的符号表示。

(10) 求火用 $E_1$，并用 $T_0,m,R$ 中所需的符号表示。

Kai

(1)

状態方程式より $\boxed{V_0=mRT_0/p_0}$。

(2)

$$\boxed{V_1=\frac{mR(2T_0)}{20p_0}=\frac{V_0}{10}}.$$

(3)

$c_p/c_v=7/5$ と $c_p-c_v=R$ より

$$\boxed{c_v=\frac52R,\qquad c_p=\frac72R}.$$

(4)

可逆断熱変化では $TV^{\kappa-1}$ が一定。したがって

$$\boxed{V_M=V_1\left(\frac{2T_0}{T_0}\right)^{1/(\kappa-1)} =\frac{2\sqrt2}{5}V_0}.$$

(5)

熱力学第一法則と断熱条件から

$$\boxed{W_{1M}=m c_v(2T_0-T_0)=\frac52mRT_0}.$$

(6)

等温理想気体では内部エネルギーが一定なので

$$\boxed{Q_{M0}=W_{M0}=mRT_0\ln\frac{V_0}{V_M} =mRT_0\ln\frac{5\sqrt2}{4}}.$$

(7)

$$\boxed{W_{10}=W_{1M}+W_{M0}=mRT_0\left(\frac52+\ln\frac{5\sqrt2}{4}\right)}.$$

(8)

$$\boxed{U_1-U_0=m c_v(T_1-T_0)=\frac52mRT_0}.$$

(9)

$$\begin{aligned} S_1-S_0&=m\left(c_v\ln\frac{T_1}{T_0}+R\ln\frac{V_1}{V_0}\right)\\ &=mR\left(\frac52\ln2-\ln10\right) =\boxed{-mR\ln\frac{5\sqrt2}{4}}. \end{aligned}$$

(10)

$p_0(V_1-V_0)=-9mRT_0/10$ と (8), (9) を代入すると

$$\boxed{E_1=mRT_0\left(\frac85+\ln\frac{5\sqrt2}{4}\right)}.$$

可逆過程の絶対仕事から周囲を押しのける仕事を引いた $W_{10}-p_0(V_0-V_1)$ とも一致する。

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 8–9ページ