名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学） 2021年8月実施 問題23（流体力学）

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• 名古屋工业大学
• 管道沿程损失
• 局部水头损失
• 量纲分析与相似律
• 升力与阻力
• 涡度与流函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題23　流体力学　設問すべてについて解答すること。

解答の注意：設問 I を表面に、設問 II、III を裏面に記入すること。また、各設問の小問について、たとえば、(1) $x=y+z$ のように、最終的な解答に小問の番号を付して下線で明示すること。

I

図1に示すように、材質および直径の異なる3本の水平な円管を通って貯水タンク（水位一定）から、一定流速 $v$ の水が大気に放出されている。円管1、2、3の直径を $d_1,d_2,d_3$（ただし、$d_3<d_1<d_2$）、長さを $l_1,l_2,l_3$（ただし、$l_2<l_3<l_1$）とし、それらの管摩擦係数を $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ とする。また、タンクから管路への流れの入口損失係数を $\zeta_1$、急拡大損失係数を $\zeta_2$、急縮小損失係数を $\zeta_3$ とする。重力加速度を $g$ とする。このとき、次の (1)～(4) の問いについて答えよ。その際、問題文中で使用されている文字以外を使用しないこと。

(1) 管路系の全摩擦損失ヘッド $h_f$ を求めよ。

(2) 管1と管2の接続に伴う急拡大損失係数 $\zeta_2$ を求めよ。

(3) 全局所損失ヘッド $h_s$ を求めよ。ただし、急拡大損失係数 $\zeta_2$ を用いること。

(4) タンクのヘッド $H$（管中心からのタンクの水面までの高さ）を求めよ。ただし、全摩擦損失ヘッド $h_f$ と全局所損失ヘッド $h_s$ を用いること。

II

長さの次元 $[L]$、質量の次元 $[M]$、および時間の次元 $[T]$ を用いて、次の (1)～(5) の物理量の次元を示せ。

(1) 質量流量

(2) 圧力

(3) 粘度（粘性係数）

(4) 表面張力

(5) 動力

III

複素平面 $z=x+iy$（$i$ は虚数単位）における2次元ポテンシャル流を考える。このとき、次の (1)～(3) の問いについて答えよ。

(1) 流速 $V$ で、$y$ 軸と平行な流線を持つ流れの複素ポテンシャル $W(z)$ を求めよ。ただし、流れ方向は $y$ 軸の正の方向とする。

(2) $x$ 軸に平行に流れる流速 $U$ の一様流中に置かれた循環 $\Gamma$（時計回りを正とする）をもつ回転円柱（半径 $R$）に働く単位幅当りの揚力 $L$ とその向き求めよ。ただし、流体の粘度を $\mu$、密度を $\rho$ とする。流れ方向は $x$ 軸の正の方向とする。

(3) $y\ge0$ では $U_1$、$y<0$ では $U_2$ である $x$ 軸に平行な流れ $(U_2>U_1>0)$ によって形成される渦層がある。この時、頂点の座標 $(x,y)$ が A $(l,h)$、B $(-l,h)$、C $(-l,-h)$、D $(l,-h)$ である長方形 ABCD で囲まれる循環 $\Gamma$（反時計回りを正とする）を求めよ。

题目描述

问题23　流体力学。所有设问均须作答。

答题注意：设问 I 写在答题纸正面，设问 II、III 写在背面。各小问的最终答案须标注小问编号并加下划线，例如 (1) $x=y+z$。

I

如图1，水从水位保持不变的储水箱流出，经过材质和直径各不相同的三根水平圆管，以恒定流速 $v$ 排入大气。圆管1、2、3的直径为 $d_1,d_2,d_3$（$d_3<d_1<d_2$），长度为 $l_1,l_2,l_3$（$l_2<l_3<l_1$），沿程摩擦系数为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$。从水箱流入管道的入口损失系数为 $\zeta_1$，突然扩大损失系数为 $\zeta_2$，突然缩小损失系数为 $\zeta_3$，重力加速度为 $g$。回答 (1)～(4)，只允许使用题干中出现的符号。

(1) 求管路系统的总沿程摩擦损失水头 $h_f$。

(2) 求管1连接管2时的突然扩大损失系数 $\zeta_2$。

(3) 求总局部损失水头 $h_s$，须使用突然扩大损失系数 $\zeta_2$。

(4) 求水箱水头 $H$，即管中心到水箱水面的高度。须使用总沿程摩擦损失水头 $h_f$ 和总局部损失水头 $h_s$。

II

用长度量纲 $[L]$、质量量纲 $[M]$ 和时间量纲 $[T]$ 表示下列物理量的量纲。

(1) 质量流量

(2) 压力

(3) 动力黏度（黏性系数）

(4) 表面张力

(5) 功率

III

考虑复平面 $z=x+iy$（$i$ 为虚数单位）中的二维势流，回答 (1)～(3)。

(1) 求流速为 $V$、流线平行于 $y$ 轴的流动的复势 $W(z)$。流向为 $y$ 轴正方向。

(2) 一个半径为 $R$、具有环量 $\Gamma$（顺时针为正）的旋转圆柱置于沿 $x$ 轴流动、流速为 $U$ 的均匀流中。求圆柱单位宽度所受升力 $L$ 及其方向。流体动力黏度为 $\mu$、密度为 $\rho$，来流沿 $x$ 轴正方向。

(3) 平行于 $x$ 轴的流动在 $y\ge0$ 时速度为 $U_1$，在 $y<0$ 时速度为 $U_2$，其中 $U_2>U_1>0$，两侧流动形成涡层。求顶点坐标 $(x,y)$ 为 A $(l,h)$、B $(-l,h)$、C $(-l,-h)$、D $(l,-h)$ 的矩形 ABCD 所围环量 $\Gamma$，以逆时针为正。

Kai

I (1)

連続の式により、管 $i$ の平均流速は $(d_3/d_i)^2v$。各管の Darcy–Weisbach 損失を加えて

$$\boxed{h_f=\frac{v^2}{2g}\left[\lambda_1\frac{l_1}{d_1}\left(\frac{d_3}{d_1}\right)^4+\lambda_2\frac{l_2}{d_2}\left(\frac{d_3}{d_2}\right)^4+\lambda_3\frac{l_3}{d_3}\right]}.$$

I (2)

急拡大による損失は上流・下流速度差の二乗を $2g$ で割ったものとなる。上流の管1の速度ヘッドを基準とすれば、連続の式から

$$\boxed{\zeta_2=\left[1-\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2\right]^2}.$$

I (3)

入口・急拡大は管1の速度、急縮小は下流の管3の速度を基準とする。

$$\boxed{h_s=\frac{v^2}{2g}\left[(\zeta_1+\zeta_2)\left(\frac{d_3}{d_1}\right)^4+\zeta_3\right]}.$$

I (4)

水面と出口の圧力はともに大気圧で、水面速度を無視すると、ベルヌーイの式より

$$\boxed{H=\frac{v^2}{2g}+h_f+h_s}.$$

II

小問	物理量	定義に基づく次元
(1)	質量流量	$[MT^{-1}]$
(2)	圧力＝力／面積	$[ML^{-1}T^{-2}]$
(3)	粘度＝せん断応力／速度勾配	$[ML^{-1}T^{-1}]$
(4)	表面張力＝力／長さ	$[MT^{-2}]$
(5)	動力＝仕事／時間	$[ML^2T^{-3}]$

III (1)

$dW/dz=u-iv=-iV$ を積分して、加法定数を除き

$$\boxed{W(z)=-iVz}.$$

III (2)

クッタ–ジューコフスキーの定理より

$$\boxed{L=\rho U\Gamma}.$$

時計回りの正の循環では円柱上側の流速が大きく、揚力は $+y$ 方向。符号付きでは $F_y=\rho U\Gamma$ であり、循環が負なら向きは逆になる。非粘性ポテンシャル流の結果には $\mu,R$ は現れない。

III (3)

鉛直辺の寄与は0、上辺 $A\to B$ の寄与は $-2lU_1$、下辺 $C\to D$ の寄与は $2lU_2$ であるから

$$\boxed{\Gamma=2l(U_2-U_1)>0}.$$

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 6–7ページ