名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学） 2021年8月実施 問題22（力学・材料力学）

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• 名古屋工业大学
• 刚体转动惯量
• 刚体转动与滚动
• 弯曲应力

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題22　力学・材料力学　設問すべてについて解答すること。

I

長さ $L$、質量 $M$ の細長い剛体棒 AB の重心を G とすると、この剛体棒は GB の中央点 O でピン支持されている。剛体棒は端点 A に水平方向に対して $30^\circ$ の角度でつながれたケーブル AC によって図1のような配置で平衡状態にある。このとき、次の (1)～(4) の問いについて答えよ。ただし、図1のように水平方向に $x$ 軸、鉛直方向に $y$ 軸となる座標を取り、重力加速度を $g$ とする。剛体棒 AB の重心に関する慣性モーメントは $I_G=ML^2/12$ で与えられる。

(1) ピン支持点 O に関する剛体棒 AB の慣性モーメント $I_O$ を求めよ。

(2) 図1のように剛体棒 AB が平衡状態にあるとき、ケーブルの張力 $T$ を求めよ。

(3) ケーブルを静かに切り離した直後の剛体棒 AB の回転角加速度 $\alpha$ を求めよ。

(4) ケーブルを切り離した後、剛体棒 AB は $90^\circ$ 回転して図1の点線の位置に到達した。このときの剛体棒 AB の回転角速度 $\omega$ を求めよ。

II

図2に示すように、長さ $L$ のはり AB が、左端 A を回転支点、A より距離 $4L/5$ にある断面 C を移動支点で支持され、はり最上面に単位長さ当たり $w$ の等分布荷重を受けている。左端面 A の図心 G を原点とし、はりに沿って右向きに $x$ 軸、下向きに $y$ 軸、両軸と直交する方向に $z$ 軸を定義する。はりの $yz$ 断面は、図3に示すような底辺の長さ $b$、高さ $h$ の二等辺三角形である。横断面に作用する曲げモーメント $M$ は図4に示す方向を正とする。はりの変形は、はりの長さに比べて十分に小さいとして、以下の (1)～(4) の問いに答えよ。

(1) A 点と C 点での反力 $R_A,R_C$ の大きさを求めよ。

(2) 断面 A から距離 $x\ (0\le x\le4L/5)$ の断面に生ずる曲げモーメント $M(x)$ を $w,L,x$ を用いて求めよ。

(3) AC 間 $(0\le x\le4L/5)$ の横断面に生ずる曲げモーメントの大きさが最大となる断面を D とする。断面 D の A からの距離 $x_D$、断面 D に生ずる曲げモーメント $M_D$ を求めよ。

(4) はりの横断面の断面2次モーメントを $bh^3/36$、断面 C と D に生ずる曲げモーメントの大きさを $|M_C|,|M_D|$ とするとき、断面 C と D に生ずる最大引張応力 $\sigma_C,\sigma_D$ を $|M_C|,|M_D|,b,h$ を用いて示せ。

题目描述

问题22　力学与材料力学。所有设问均须作答。

I

细长刚性杆 AB 的长度为 $L$、质量为 $M$、质心为 G，并在 GB 的中点 O 处用销支承。杆的端点 A 连接一根与水平方向成 $30^\circ$ 的缆绳 AC，使杆在图1所示位置保持平衡。回答 (1)～(4)。坐标轴如图1所示，$x$ 轴沿水平方向，$y$ 轴沿竖直方向，重力加速度为 $g$。杆 AB 相对于质心的转动惯量为 $I_G=ML^2/12$。

(1) 求杆 AB 相对于销支点 O 的转动惯量 $I_O$。

(2) 杆 AB 如图1保持平衡时，求缆绳张力 $T$。

(3) 轻轻切断缆绳后，求杆 AB 在切断瞬间的转动角加速度 $\alpha$。

(4) 切断缆绳后，杆 AB 转过 $90^\circ$，到达图1虚线所示位置。求此时杆的转动角速度 $\omega$。

II

如图2，长为 $L$ 的梁 AB 在左端 A 处由铰支座支承，在距 A 为 $4L/5$ 的截面 C 处由滚动支座支承。梁上表面承受单位长度为 $w$ 的均布荷载。以左端截面 A 的形心 G 为原点，沿梁向右取 $x$ 轴，向下取 $y$ 轴，垂直于两轴取 $z$ 轴。梁的 $yz$ 截面如图3，是底边长 $b$、高 $h$ 的等腰三角形。横截面弯矩 $M$ 以图4所示方向为正。假设梁的变形相对于梁长足够小，回答 (1)～(4)。

(1) 求 A、C 两点支反力 $R_A,R_C$ 的大小。

(2) 用 $w,L,x$ 求距截面 A 为 $x\ (0\le x\le4L/5)$ 处截面的弯矩 $M(x)$。

(3) 将 AC 区间 $(0\le x\le4L/5)$ 中弯矩绝对值最大的截面记为 D。求 D 到 A 的距离 $x_D$ 及 D 处的弯矩 $M_D$。

(4) 梁截面的截面二次矩为 $bh^3/36$，C、D 两截面的弯矩绝对值分别为 $|M_C|,|M_D|$。用 $|M_C|,|M_D|,b,h$ 表示两截面的最大拉应力 $\sigma_C,\sigma_D$。

Kai

I (1)

$OG=L/4$ であるから、平行軸の定理より

$$\boxed{I_O=I_G+M(L/4)^2=\frac7{48}ML^2}.$$

I (2)

$O$ まわりのモーメントを反時計回り正とする。重力の腕は $(L/4)\cos30^\circ$、張力の腕は $(3L/4)\sin60^\circ$ なので

$$\frac{\sqrt3}{8}MgL-\frac{3\sqrt3}{8}TL=0, \qquad \boxed{T=\frac{Mg}{3}}.$$

I (3)

切断直後は姿勢が変わらず、$O$ まわりの重力モーメントだけが残る。

$$I_O\alpha=\frac{\sqrt3}{8}MgL, \qquad \boxed{\alpha=\frac{6\sqrt3g}{7L}\quad\text{（反時計回り）}}.$$

I (4)

$\overrightarrow{OG}$ の角度は $150^\circ$ から $240^\circ$ へ変化するので、重心の下降量は

$$\Delta h=\frac L4(\sin150^\circ-\sin240^\circ)=\frac{(1+\sqrt3)L}{8}.$$

力学的エネルギー保存 $I_O\omega^2/2=Mg\Delta h$ より

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{12(1+\sqrt3)g}{7L}}\quad\text{（反時計回り）}}.$$

II (1)

$R_A+R_C=wL$、$R_C(4L/5)=wL(L/2)$ から

$$\boxed{R_A=\frac38wL,\qquad R_C=\frac58wL}\quad\text{（ともに上向き）}.$$

II (2)

左側部分の釣合いより

$$\boxed{M(x)=R_Ax-\frac12wx^2=\frac38wLx-\frac12wx^2},\qquad0\le x\le\frac{4L}{5}.$$

II (3)

$M'(x)=3wL/8-wx=0$ より $x=3L/8$。その値は $9wL^2/128$ である。一方、端点は $M(0)=0,M_C=-wL^2/50$ で、$9/128>1/50$ だから

$$\boxed{x_D=\frac{3L}{8},\qquad M_D=\frac9{128}wL^2}.$$

II (4)

図心から上端まで $2h/3$、下端まで $h/3$ である。$C$ は負曲げで上側、$D$ は正曲げで下側が引張となる。したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \sigma_C=\frac{|M_C|(2h/3)}{bh^3/36}=\frac{24|M_C|}{bh^2},\\ \sigma_D=\frac{|M_D|(h/3)}{bh^3/36}=\frac{12|M_D|}{bh^2} \end{gathered}}.$$

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 4–5ページ