名古屋工業大学 工学研究科 電気・機械工学系（機械工学） 2021年8月実施 問題18（制御工学）

标签：

• 名古屋工业大学
• 二阶系统阻尼
• 传递函数
• 波德图与稳定裕度
• 拉普拉斯变换

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題18　制御工学　設問すべてについて解答すること。

I

図1のフィードバック制御系において、次の (1)～(3) の問いについて答えよ。

(1) $G(s)=1/[s(s+4)]$、$H(s)=K$ とする。入力 $r(t)$ から出力 $y(t)$ までの伝達関数の減衰係数が $1/\sqrt2$ となる実数 $K$ を求めよ。

(2) $G(s)=1/[s(s+4)]$、$H(s)=as+b$ とする。フィードバック制御系の極が $\{-1,-10\}$ となる実数 $a,b$ を求めよ。

(3) $G(s)=1/[s(s+p)]$、$H(s)=5$ とする。入力 $r(t)$ として

$$r(t)=\begin{cases}0&(t<0),\\1&(0\le t)\end{cases}$$

を加えたとき $r(t)-y(t)$ は次式となった。実数 $p$ を求めよ。

$$r(t)-y(t)=e^{-t}\left(\cos2t+\frac12\sin2t\right)$$

II

図2の電気回路において、入力電圧を $v_i(t)$、出力電圧を $v_o(t)$ としたときの伝達関数を求めよ。

III

伝達関数

$$G(s)=a\frac{(s+b)(s+c)}{s^d(s+f)}$$

について考える（$d$ は整数、$a,b,c,f$ は正の実数であり $b<c$ を満たす）。図3は横軸を対数目盛とした伝達関数 $G(s)$ のゲイン線図の概形図（折れ線近似）である。$(a,b,c,d,f)$ の値をそれぞれ求めよ（なお、$\omega_1$～$\omega_4$ を適宜用いること）。

IV

つぎの時間関数 $f(t)$ のラプラス変換を求めよ。

$$f(t)=\begin{cases} 0&(t<0),\\ 1&(0\le t<1),\\ 2&(1\le t<2),\\ 0&(2\le t). \end{cases}$$

题目描述

问题18　控制工程。所有设问均须作答。

I

对于图1的反馈控制系统，回答 (1)～(3)。

(1) 设 $G(s)=1/[s(s+4)]$、$H(s)=K$。求使从输入 $r(t)$ 到输出 $y(t)$ 的传递函数的阻尼比为 $1/\sqrt2$ 的实数 $K$。

(2) 设 $G(s)=1/[s(s+4)]$、$H(s)=as+b$。求使反馈控制系统极点为 $\{-1,-10\}$ 的实数 $a,b$。

(3) 设 $G(s)=1/[s(s+p)]$、$H(s)=5$，施加输入

$$r(t)=\begin{cases}0&(t<0),\\1&(0\le t)\end{cases}$$

后，得到

$$r(t)-y(t)=e^{-t}\left(\cos2t+\frac12\sin2t\right).$$

求实数 $p$。

II

在图2的电路中，以 $v_i(t)$ 为输入电压、$v_o(t)$ 为输出电压，求传递函数。

III

考虑传递函数

$$G(s)=a\frac{(s+b)(s+c)}{s^d(s+f)},$$

其中 $d$ 为整数，$a,b,c,f$ 为正实数且 $b<c$。图3是该传递函数的增益图示意（折线近似），横轴采用对数刻度。分别求 $(a,b,c,d,f)$，可适当使用 $\omega_1$～$\omega_4$。

IV

求下列时间函数的拉普拉斯变换：

$$f(t)=\begin{cases} 0&(t<0),\\ 1&(0\le t<1),\\ 2&(1\le t<2),\\ 0&(2\le t). \end{cases}$$

Kai

I (1)

$$\frac{Y}{R}=\frac{K}{s^2+4s+K}.$$

標準形 $s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2$ と比べると $\omega_n=\sqrt K,\ \zeta=2/\sqrt K$。よって

$$\boxed{K=8}.$$

I (2)

特性多項式は $s^2+(4+a)s+b$ であり、$(s+1)(s+10)=s^2+11s+10$ と係数比較して

$$\boxed{a=7,\qquad b=10}.$$

I (3)

偏差のラプラス変換は

$$E(s)=\frac1s\frac1{1+5/[s(s+p)]}=\frac{s+p}{s^2+ps+5}.$$

一方、指定応答の変換は $(s+2)/(s^2+2s+5)$ であるから $\boxed{p=2}$。

II

中間節点の電圧を $V_A$ とする。初期値を0として

$$\frac{V_A-V_i}{R}+sCV_A+\frac{V_A}{sL+R}=0,\qquad V_o=\frac{R}{sL+R}V_A.$$

したがって

$$\boxed{\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R}{LCRs^2+(L+CR^2)s+2R}}.$$

III

低周波の傾きから $d=1$。傾きの増減より零点は $\omega_1,\omega_4$、極は $\omega_2$ であり、$b<c$ から $b=\omega_1,c=\omega_4,f=\omega_2$。

$\omega_2<\omega<\omega_4$ の折れ線近似は $|G(i\omega)|\simeq a\omega_4/\omega$。$\omega=\omega_3$ で1となるので

$$\boxed{(a,b,c,d,f)=\left(\frac{\omega_3}{\omega_4},\omega_1,\omega_4,1,\omega_2\right)}.$$

IV

定義積分から

$$F(s)=\int_0^1e^{-st}\,dt+2\int_1^2e^{-st}\,dt =\boxed{\frac{1+e^{-s}-2e^{-2s}}s}.$$

$s=0$ では可除特異点であり $F(0)=3$ である。

Reference

• 名古屋工業大学公式原題の公開アーカイブ：2022年度、PDF 2–3ページ