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長崎大学 工学研究科 総合工学専攻 機械工学コース・海洋未来科学コース 2022年度 数学 問題3

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の微分方程式について、以下の問いに答えよ。

xdy(x)dx+2y(x)2−y(x)−2x2=0.(3-1)x\frac{dy(x)}{dx}+2y(x)^2-y(x)-2x^2=0.\tag{3-1}
  1. η(x)=x\eta(x)=x がこの方程式の解であることを示せ。
  2. y(x)=Y(x)+η(x)y(x)=Y(x)+\eta(x) と変数変換して Y(x)Y(x) の方程式を求め、次の形に書き直したときの f(x),g(x)f(x),g(x) を求めよ。
1Y(x)2dY(x)dx+f(x)1Y(x)=g(x).(3-2)\frac1{Y(x)^2}\frac{dY(x)}{dx}+f(x)\frac1{Y(x)}=g(x).\tag{3-2}
  1. 式(3-2)において z(x)=1/Y(x)z(x)=1/Y(x) と変数変換し、zz の方程式を求めよ。また、その方程式の解を用いて式(3-1)の一般解を求めよ。

题目描述​

考虑方程 xy′+2y2−y−2x2=0xy'+2y^2-y-2x^2=0。

  1. 证明 η(x)=x\eta(x)=x 是其一个解。
  2. 令 y=Y+ηy=Y+\eta，求 YY 的方程，并将其化为 Y′/Y2+f(x)/Y=g(x)Y'/Y^2+f(x)/Y=g(x)，求 f,gf,g。
  3. 再令 z=1/Yz=1/Y，求 zz 的方程，并据此求原方程的通解。

Kai​

(1)​

y=xy=x、y′=1y'=1 を左辺に代入すると、

x+2x2−x−2x2=0x+2x^2-x-2x^2=0

となる。したがって η(x)=x\boxed{\eta(x)=x} は解である。

(2)​

y=Y+xy=Y+x を代入して整理すると、

xY′+2Y2+(4x−1)Y=0.xY'+2Y^2+(4x-1)Y=0.

x≠0x\ne0、Y≠0Y\ne0 の区間で xY2xY^2 により割れば、

Y′Y2+(4−1x)1Y=−2x.\frac{Y'}{Y^2}+\left(4-\frac1x\right)\frac1Y=-\frac2x.

よって

f(x)=4−1x,g(x)=−2x.\boxed{f(x)=4-\frac1x,\qquad g(x)=-\frac2x}.

(3)​

z=1/Yz=1/Y とおけば z′=−Y′/Y2z'=-Y'/Y^2 なので、

z′+(1x−4)z=2x.\boxed{z'+\left(\frac1x-4\right)z=\frac2x}.

積分因子 xe−4xxe^{-4x} を用いると、

ddx(xe−4xz)=2e−4x,xe−4xz=−12e−4x+C.\frac d{dx}(xe^{-4x}z)=2e^{-4x},\qquad xe^{-4x}z=-\frac12e^{-4x}+C.

したがって z=(Ce4x−1/2)/xz=(Ce^{4x}-1/2)/x となる。任意定数を K=2CK=2C と書き直せば、

y(x)=x+2xKe4x−1=xKe4x+1Ke4x−1.\boxed{y(x)=x+\frac{2x}{Ke^{4x}-1} =x\frac{Ke^{4x}+1}{Ke^{4x}-1}}.

これは x≠0x\ne0 かつ Ke4x≠1Ke^{4x}\ne1 の区間での一般解である。変換で除いた Y=0Y=0 に対応する解 y=x\boxed{y=x} も別に含める。

x=0x=0 は変形後の方程式の特異点である。原方程式に連続・微分可能に延長する場合、y(0)y(0) は 2y(0)2−y(0)=02y(0)^2-y(0)=0 を満たす。上の解族は K≠1K\ne1 なら y(0)=0y(0)=0、K=1K=1 なら可除特異点の極限 y(0)=1/2y(0)=1/2 によって延長できる。

Reference​

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