長崎大学工学研究科総合工学専攻機械工学コース・海洋未来科学コース 2021年8月実施数学問題3

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

次の微分方程式について以下の問に答えなさい。

x\frac{dy(x)}{dx}+2y(x)^2-y(x)-2x^2=0.\tag{3-1}

(1) $\eta(x)=x$ が与えられた方程式の解であることを示しなさい。

(2) (3-1) 式に対して、(1) の $\eta(x)$ を用いて $y(x)=Y(x)+\eta(x)$ と変数変換を行い $Y(x)$ に関する方程式を求め、以下の形に書き直したときの $f(x),g(x)$ を求めなさい。

\frac1{Y(x)^2}\frac{dY(x)}{dx}+f(x)\frac1{Y(x)}=g(x).\tag{3-2}

(3) (3-2) 式の方程式に対して、 $z(x)=\dfrac1{Y(x)}$ と変数変換を行い $z$ に関する方程式を求めなさい。また、その $z(x)$ に関する方程式の解を用いて (3-1) 式の一般解を求めなさい。

对于下列微分方程，回答以下问题。

x\frac{dy(x)}{dx}+2y(x)^2-y(x)-2x^2=0.\tag{3-1}

(1) 证明 $\eta(x)=x$ 是所给方程的解。

(2) 对式 (3-1)，利用 (1) 中的 $\eta(x)$ 作代换 $y(x)=Y(x)+\eta(x)$ ，求关于 $Y(x)$ 的方程，并将其改写为下列形式，求 $f(x),g(x)$ 。

\frac1{Y(x)^2}\frac{dY(x)}{dx}+f(x)\frac1{Y(x)}=g(x).\tag{3-2}

(3) 对式 (3-2)，作代换 $z(x)=\dfrac1{Y(x)}$ ，求关于 $z$ 的方程。再利用该方程的解，求式 (3-1) 的通解。

$y=x$ 、 $y'=1$ を左辺に代入すると、

x+2x^2-x-2x^2=0

となる。したがって $\boxed{\eta(x)=x}$ は解である。

$y=Y+x$ を代入して整理すると、

xY'+2Y^2+(4x-1)Y=0.

$x\ne0$ 、 $Y\ne0$ の区間で $xY^2$ により割れば、

\frac{Y'}{Y^2}+\left(4-\frac1x\right)\frac1Y=-\frac2x.

よって

\boxed{f(x)=4-\frac1x,\qquad g(x)=-\frac2x}.

$z=1/Y$ とおけば $z'=-Y'/Y^2$ なので、

\boxed{z'+\left(\frac1x-4\right)z=\frac2x}.

積分因子 $xe^{-4x}$ を用いると、

\begin{gathered} \frac d{dx}(xe^{-4x}z)=2e^{-4x},\\ xe^{-4x}z=-\frac12e^{-4x}+C. \end{gathered}

したがって $z=(Ce^{4x}-1/2)/x$ となる。任意定数を $K=2C$ と書き直せば、

\boxed{y(x)=x+\frac{2x}{Ke^{4x}-1} =x\frac{Ke^{4x}+1}{Ke^{4x}-1}}.

これは $x\ne0$ かつ $Ke^{4x}\ne1$ の区間での一般解である。変換で除いた $Y=0$ に対応する解 $\boxed{y=x}$ も別に含める。

$x=0$ は変形後の方程式の特異点である。原方程式に連続・微分可能に延長する場合、 $y(0)$ は $2y(0)^2-y(0)=0$ を満たす。上の解族は $K\ne1$ なら $y(0)=0$ 、 $K=1$ なら可除特異点の極限 $y(0)=1/2$ によって延長できる。