長崎大学 工学研究科 総合工学専攻 情報工学コース・海洋未来科学コース 2023年度 基礎科目 問題4

标签：

• 长崎大学
• 分布函数与概率密度
• 期望与方差

Author

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

確率変数 $X$ の累積分布関数が

$$F(x)=\begin{cases}0&(x\le0),\\\sin x&(0<x<\pi/2),\\1&(x\ge\pi/2)\end{cases}$$

で与えられるとき、以下に答えよ。

1. 事象 $\pi/4<X\le\pi/3$ の確率を求めよ。
2. 確率密度関数 $f(x)$ を求めよ。
3. 期待値 $E(X)$ および分散 $V(X)$ を求めよ。

题目描述

随机变量 $X$ 的累积分布函数在 $x\le0$ 时为 $0$，在 $0<x<\pi/2$ 时为 $\sin x$，在 $x\ge\pi/2$ 时为 $1$。求 $\Pr(\pi/4<X\le\pi/3)$、概率密度、期望与方差。

Kai

(1)

累積分布関数の定義より

$$\Pr\left(\frac\pi4<X\le\frac\pi3\right) =F(\pi/3)-F(\pi/4) =\boxed{\frac{\sqrt3-\sqrt2}2}.$$

(2)

$F$ は全実数上で連続で、端点に点質量をもたない。区分的に微分して、密度の一つの表示は

$$\boxed{f(x)=\begin{cases}\cos x&(0<x<\pi/2),\\0&\text{それ以外}.\end{cases}}$$

(3)

部分積分により

$$\begin{aligned} E(X)&=\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx\\ &=[x\sin x+\cos x]_0^{\pi/2} =\boxed{\frac\pi2-1}. \end{aligned}$$

同様に

$$\begin{aligned} E(X^2)&=\int_0^{\pi/2}x^2\cos x\,dx\\ &=[x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}4-2. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{V(X)=E(X^2)-E(X)^2 =\frac{\pi^2}4-2-\left(\frac\pi2-1\right)^2=\pi-3}.$$

Reference

• 大学公式問題（2023年度、PDF 4ページ）
• miyake：対応する解答