長崎大学工学研究科総合工学専攻情報工学コース・海洋未来科学コース 2023年度基礎科目問題4

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

確率変数 $X$ の（累積）分布関数が、

F(x)=\begin{cases} 0&x\le0,\\ \sin x&0<x<\dfrac\pi2,\\ 1&x\ge\dfrac\pi2 \end{cases}

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 事象 $\dfrac\pi4<X\le\dfrac\pi3$ の確率を求めよ。

(2) 確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ を求めよ。

(3) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ および分散 $V(X)$ をそれぞれ求めよ。

随机变量 $X$ 的累积分布函数为

F(x)=\begin{cases} 0&x\le0,\\ \sin x&0<x<\dfrac\pi2,\\ 1&x\ge\dfrac\pi2. \end{cases}

回答以下问题。

(1) 求事件 $\dfrac\pi4<X\le\dfrac\pi3$ 的概率。

(2) 求随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 。

(3) 分别求随机变量 $X$ 的期望 $E(X)$ 和方差 $V(X)$ 。

累積分布関数の定義より

\begin{gathered} \Pr\left(\frac\pi4<X\le\frac\pi3\right) =F(\pi/3)-F(\pi/4)\\ =\boxed{\frac{\sqrt3-\sqrt2}2}. \end{gathered}

$F$ は全実数上で連続で、端点に点質量をもたない。区分的に微分して、密度の一つの表示は

\boxed{f(x)=\begin{cases}\cos x&(0<x<\pi/2),\\0&\text{それ以外}.\end{cases}}

部分積分により

\begin{aligned} E(X)&=\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx\\ &=[x\sin x+\cos x]_0^{\pi/2} =\boxed{\frac\pi2-1}. \end{aligned}

同様に

\begin{aligned} E(X^2)&=\int_0^{\pi/2}x^2\cos x\,dx\\ &=[x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}4-2. \end{aligned}

したがって

\boxed{\begin{gathered} V(X)=E(X^2)-E(X)^2\\ =\frac{\pi^2}4-2-\left(\frac\pi2-1\right)^2\\ =\pi-3 \end{gathered}}.