長崎大学工学研究科総合工学専攻情報工学コース・海洋未来科学コース 2023年度基礎科目問題2

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$a,b,c$ を正の実数とする。次の行列 $A$ が逆行列をもつために $a,b,c$ が満たすべき条件を求めよ。

A=\begin{pmatrix}1&a&a^3\\1&b&b^3\\1&c&c^3\end{pmatrix}.

设 $a,b,c$ 均为正实数。求上述矩阵 $A$ 可逆的充要条件。

第2行と第3行から第1行を引き、共通因子をくくると、

\begin{aligned} \det A &=\begin{vmatrix}1&a&a^3\\0&b-a&b^3-a^3\\0&c-a&c^3-a^3\end{vmatrix}\\ &=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&b^2+ab+a^2\\1&c^2+ac+a^2\end{vmatrix}\\ &=(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c). \end{aligned}

$a,b,c>0$ だから $a+b+c>0$ である。よって $\det A\ne0$ となる必要十分条件は

\boxed{a\ne b,\qquad b\ne c,\qquad c\ne a}.