長崎大学工学研究科総合工学専攻情報工学コース・海洋未来科学コース 2023年度基礎科目問題1

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祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$f(x)=\tan x$ とし、 $f(x)$ の $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $f^{(1)}(x)$ 、 $f^{(2)}(x)$ 、 $f^{(3)}(x)$ をそれぞれ求めよ。

(2) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^3}$ を求めよ。

设 $f(x)=\tan x$ ，记 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数为 $f^{(n)}(x)$ 。回答以下问题。

(1) 分别求 $f^{(1)}(x)$ 、 $f^{(2)}(x)$ 、 $f^{(3)}(x)$ 。

(2) 求 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^3}$ 。

商の微分法と合成関数の微分法から、

\begin{gathered} \boxed{f^{(1)}(x)=\frac1{\cos^2x}},\\ \boxed{f^{(2)}(x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}}. \end{gathered}

さらに

\begin{aligned} f^{(3)}(x) &=\frac{2\cos x}{\cos^3x}+\frac{6\sin^2x}{\cos^4x}\\ &=\boxed{\frac{2(1+2\sin^2x)}{\cos^4x}}. \end{aligned}

以上は $\cos x\ne0$ の範囲で成り立つ。

$f(0)=0$ 、 $f'(0)=1$ 、 $f''(0)=0$ 、 $f^{(3)}(0)=2$ なので、Taylor 展開は

\begin{gathered} f(x)=x+\frac{2}{3!}x^3+o(x^3)\\ =x+\frac{x^3}3+o(x^3). \end{gathered}

したがって

\boxed{\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^3}=\frac13}.