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長崎大学 工学研究科 総合工学専攻 情報工学コース・海洋未来科学コース 2023年度 基礎科目 問題1

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Author​

祭音Myyura (Based on miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x とし、その nn 次導関数を f(n)(x)f^{(n)}(x) とする。

  1. f(1)(x),f(2)(x),f(3)(x)f^{(1)}(x),f^{(2)}(x),f^{(3)}(x) をそれぞれ求めよ。
  2. lim⁡x→0(f(x)−x)/x3\lim_{x\to0}(f(x)-x)/x^3 を求めよ。

题目描述​

设 f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x，f(n)f^{(n)} 表示其 nn 阶导数。求一至三阶导数，以及极限 lim⁡x→0(f(x)−x)/x3\lim_{x\to0}(f(x)-x)/x^3。

Kai​

(1)​

商の微分法と合成関数の微分法から、

f(1)(x)=1cos⁡2x,f(2)(x)=2sin⁡xcos⁡3x.\boxed{f^{(1)}(x)=\frac1{\cos^2x}},\qquad \boxed{f^{(2)}(x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}}.

さらに

f(3)(x)=2cos⁡xcos⁡3x+6sin⁡2xcos⁡4x=2(1+2sin⁡2x)cos⁡4x.\begin{aligned} f^{(3)}(x) &=\frac{2\cos x}{\cos^3x}+\frac{6\sin^2x}{\cos^4x}\\ &=\boxed{\frac{2(1+2\sin^2x)}{\cos^4x}}. \end{aligned}

以上は cos⁡x≠0\cos x\ne0 の範囲で成り立つ。

(2)​

f(0)=0f(0)=0、f′(0)=1f'(0)=1、f′′(0)=0f''(0)=0、f(3)(0)=2f^{(3)}(0)=2 なので、Taylor 展開は

f(x)=x+23!x3+o(x3)=x+x33+o(x3).f(x)=x+\frac{2}{3!}x^3+o(x^3)=x+\frac{x^3}3+o(x^3).

したがって

lim⁡x→0f(x)−xx3=13.\boxed{\lim_{x\to0}\frac{f(x)-x}{x^3}=\frac13}.

Reference​

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