明治大学 先端数理科学研究科 現象数理学専攻 2023年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ を

$$A = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$$

で定める。次の問に答えよ。

(1) 行列 $A$ の固有値をすべて求めよ。

(2) $A = PDP^{-1}$ を満たす正則行列 $P$ と対角行列 $D$ の組をひとつ求めよ。

(3) 行列 $A^{\infty}$ を

$$A^{\infty} = \lim_{n \to \infty} A^n$$

で定める。ベクトル

$$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$$

が $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ を満たすとき、 $A^{\infty}x$ を求めよ。

题目描述

定义矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 1/2&0&0\\ 1/2&1/2&1\\ 0&1/2&0 \end{pmatrix}.$$

回答下列问题。

(1) 求矩阵 $A$ 的全部特征值。

(2) 求一组可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $D$，使

$$A=PDP^{-1}.$$

(3) 定义

$$A^\infty=\lim_{n\to\infty}A^n.$$

若向量

$$x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

满足

$$x_1+x_2+x_3=1,$$

求 $A^\infty x$。

Kai

(1) 行列 $A$ の固有値を求める。

$$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1/2 - \lambda & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1/2 & -\lambda \end{vmatrix} = (1/2 - \lambda) \begin{vmatrix} 1/2 - \lambda & 1 \\ 1/2 & -\lambda \end{vmatrix}$$

$$= (1/2 - \lambda)[(1/2 - \lambda)(-\lambda) - 1/2] = (1/2 - \lambda)(\lambda^2 - \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2}) = 0$$

$\lambda_1 = 1/2, \lambda^2 - \frac{1}{2}\lambda - \frac{1}{2} = 0 \implies 2\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \implies (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$ $\lambda_2 = -1/2, \lambda_3 = 1$ 固有値は $\lambda = 1/2, -1/2, 1$

(2) $A = PDP^{-1}$ を満たす正則行列 $P$ と対角行列 $D$ を求める。 まず、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。 $\lambda_1 = 1/2$ のとき、 $(A - \frac{1}{2}I)v_1 = 0$

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \implies x/2 + z = 0, y/2 - z/2 = 0 \implies x = -2z, y = z \implies v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$\lambda_2 = -1/2$ のとき、 $(A + \frac{1}{2}I)v_2 = 0$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \implies x = 0, x/2 + y + z = 0, y/2 + z/2 = 0 \implies x = 0, y = -z \implies v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$\lambda_3 = 1$ のとき、 $(A - I)v_3 = 0$

$$\begin{pmatrix} -1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 \implies -x/2 = 0, x/2 - y/2 + z = 0, y/2 - z = 0 \implies x = 0, y = 2z \implies v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

したがって、

$$P = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$\det P=-6\neq0$ であり，

$$P^{-1}= \begin{pmatrix} -\frac12&0&0\\ -\frac16&\frac13&-\frac23\\ \frac13&\frac13&\frac13 \end{pmatrix}.$$

(3) 対角化より

$$A^\infty =P\operatorname{diag}(0,0,1)P^{-1} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\ \frac23&\frac23&\frac23\\ \frac13&\frac13&\frac13 \end{pmatrix}.$$

したがって $x_1+x_2+x_3=1$ なら

$$\boxed{ A^\infty x= \begin{pmatrix} 0\\[2pt] \frac23\\[2pt] \frac13 \end{pmatrix} }.$$