明治大学 先端数理科学研究科 現象数理学専攻 2021年8月実施 线性代数

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• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Cauchy-Riemann-Equations

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

について次の問に答えよ。

(1) 行列 $A$ の固有値を求めよ。

(2) 正則行列 $P$ で $P^{-1}AP$ が対角行列になるものを1つ求めよ。

(3) $\mathbb{R}^3$ のベクトル $v_n, n = 1, 2, \dots$ を

$$v_{n+1} = \frac{1}{4} A v_n, \quad v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

によって定める。このとき

$$\lim_{n \to \infty} v_n$$

を求めよ。

题目描述

对于矩阵

$$A=\begin{pmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{pmatrix},$$

回答下列问题。

(1) 求矩阵 $A$ 的特征值。

(2) 求一个可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

(3) 由下式定义 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $v_n$（$n=1,2,\dots$）：

$$v_{n+1}=\frac14Av_n,\qquad v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$

求

$$\lim_{n\to\infty}v_n.$$

Kai

(1) 首先求矩阵A的特征多项式：

$$\begin{aligned} det(A - \lambda I) &= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (2-\lambda) \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2-\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ &= (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) - (2-\lambda - 1) + (1 - (2-\lambda)) \\ &= (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (1-\lambda) + (\lambda - 1) \\ &= (2-\lambda)(\lambda - 1)(\lambda - 3) + 2(\lambda - 1) \\ &= (\lambda - 1)((2-\lambda)(\lambda - 3) + 2) \\ &= (\lambda - 1)(-\lambda^2 + 5\lambda - 6 + 2) \\ &= (\lambda - 1)(-\lambda^2 + 5\lambda - 4) \\ &= -(\lambda - 1)^2(\lambda - 4) \end{aligned}$$

特征值为 $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 4$ .

(2) 对于特征值 $\lambda_1 = 1$ : $(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} v = 0$ . 解得特征向量为 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

对于特征值 $\lambda_2 = 4$ : $(A - 4I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} v = 0$ . 解得特征向量为 $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

故可取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

(3) 由 $v_{n+1} = \frac{1}{4} A v_n$ , 有 $v_n = (\frac{1}{4}A)^{n-1}v_1$ . 将 $v_1$ 表示为特征向量的线性组合: $v_1 = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3$ 即 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . 解得 $c_1=c_2=c_3=\frac13$ . 所以 $v_n = (\frac{1}{4}A)^{n-1} (\frac{1}{3} v_1 + \frac{1}{3} v_2 + \frac{1}{3} v_3) = \frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1} v_1 + \frac{1}{3} (\frac{1}{4})^{n-1} v_2 + \frac{1}{3} (\frac{4}{4})^{n-1} v_3$ . $\lim_{n \to \infty} v_n = \frac{1}{3} v_3 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}$ .