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明治大学 先端数理科学研究科 現象数理学専攻 2021年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

(1) 積分 ∫−33dxx2+1\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1} を計算せよ.

次の不等式をすべて満たす点の集合として定まる xyxy 平面の集合を DD とする.

{x>01≤x2−y2≤2−13x≤y≤13x\begin{cases} x > 0 \\ 1 \leq x^2 - y^2 \leq 2 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}}x \leq y \leq \frac{1}{\sqrt{3}}x \end{cases}

(2) 集合 DD を図示せよ.

(3) 集合 DD において {u=x2−y2v=yx\begin{cases} u = x^2 - y^2 \\ v = \frac{y}{x} \end{cases} と変数変換するとき, ヤコビ行列式 ∂u∂x∂v∂y−∂u∂y∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} を x,yx, y で表せ. またこの変数変換によって, 集合 DD は, 次の集合 EE と 1対1に対応することを示せ.

E={(u,v)∣1≤u≤2,−13≤v≤13}.E = \{(u, v) | 1 \leq u \leq 2, -\frac{1}{\sqrt{3}} \leq v \leq \frac{1}{\sqrt{3}} \}.

(4) DD 上の重積分 ∬D1x2+y2dxdy\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy を計算せよ.

题目描述​

(1) 计算积分

∫−33dxx2+1.\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}.

设 DD 为 xyxy 平面上同时满足下列全部不等式的点所组成的集合：

{x>0,1≤x2−y2≤2,−13x≤y≤13x.\begin{cases} x>0,\\ 1\leq x^2-y^2\leq2,\\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}x\leq y\leq\dfrac{1}{\sqrt{3}}x. \end{cases}

(2) 画出集合 DD。

(3) 在 DD 上作变量变换

{u=x2−y2,v=yx.\begin{cases} u=x^2-y^2,\\ v=\dfrac{y}{x}. \end{cases}

用 x,yx,y 表示 Jacobian 行列式

∂u∂x∂v∂y−∂u∂y∂v∂x.\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} -\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}.

并证明该变量变换使集合 DD 与下列集合 EE 一一对应：

E={(u,v) | 1≤u≤2,  −13≤v≤13}.E=\left\{(u,v)\,\middle|\, 1\leq u\leq2,\; -\frac{1}{\sqrt{3}}\leq v\leq\frac{1}{\sqrt{3}} \right\}.

(4) 计算 DD 上的二重积分

∬D1x2+y2 dx dy.\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dx\,dy.

Kai​

(1) ∫−33dxx2+1=[arctan⁡x]−33=arctan⁡(3)−arctan⁡(−3)=π3−(−π3)=2π3\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan x]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3}

(2) 集合 D は双曲線 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 と x2−y2=2x^2 - y^2 = 2 , および直線 y=x3y = \frac{x}{\sqrt{3}} と y=−x3y = -\frac{x}{\sqrt{3}} で囲まれた領域のうち、 x>0x > 0 の部分.

(3) ∂u∂x=2x,∂u∂y=−2y,∂v∂x=−yx2,∂v∂y=1x\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}, \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{x}

∂u∂x∂v∂y−∂u∂y∂v∂x=2x⋅1x−(−2y)⋅(−yx2)=2−2y2x2=2(1−y2x2)=2(1−v2)\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} = 2x \cdot \frac{1}{x} - (-2y) \cdot (-\frac{y}{x^2}) = 2 - \frac{2y^2}{x^2} = 2(1 - \frac{y^2}{x^2}) = 2(1 - v^2)

さらに、 (u,v)∈E(u,v)\in E なら ∣v∣≤1/3<1|v|\leq1/\sqrt3<1 かつ u>0u>0 なので、

x=u1−v2>0,y=vu1−v2x=\sqrt{\frac{u}{1-v^2}}>0,\qquad y=v\sqrt{\frac{u}{1-v^2}}

と一意に復元できる。この (x,y)(x,y) は x2−y2=ux^2-y^2=u 、 y/x=vy/x=v を満たし、従って DD に属する。逆に DD の各点からは定義により一意な (u,v)∈E(u,v)\in E が得られるので、この変数変換は DD と EE の間の1対1対応である。

(4) ∬D1x2+y2dxdy=∬E1x2+y2∣J∣dudv\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy = \iint_E \frac{1}{x^2 + y^2} |J| dudv , ここで JJ はヤコビアン.

u=x2−y2,v=yxu = x^2 - y^2, v = \frac{y}{x} より, x2=u1−v2,y2=uv21−v2x^2 = \frac{u}{1 - v^2}, y^2 = \frac{uv^2}{1 - v^2} , x2+y2=u1−v2+uv21−v2=u(1+v2)1−v2x^2 + y^2 = \frac{u}{1 - v^2} + \frac{uv^2}{1 - v^2} = \frac{u(1 + v^2)}{1 - v^2}

∂(u,v)∂(x,y)=2(1−v2)\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = 2(1 - v^2) , より ∂(x,y)∂(u,v)=12(1−v2)\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \frac{1}{2(1 - v^2)}

∬D1x2+y2dxdy=∫−1313∫121−v2u(1+v2)12(1−v2)dudv=∫−1313∫1212u(1+v2)dudv=∫−131312(1+v2)[ln⁡u]12dv=ln⁡2∫01311+v2dv=ln⁡2[arctan⁡v]013=ln⁡2arctan⁡13=π6ln⁡2\iint_D \frac{1}{x^2 + y^2} dxdy = \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \int_1^2 \frac{1-v^2}{u(1+v^2)} \frac{1}{2(1-v^2)}dudv = \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \int_1^2 \frac{1}{2u(1+v^2)}dudv = \int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{2(1+v^2)} [\ln u]_1^2 dv = \ln 2 \int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{1+v^2} dv = \ln 2 [\arctan v]_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \ln 2 \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \ln 2 .

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