明治大学 先端数理科学研究科 現象数理学専攻 2020年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ を

$$A = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

で定義する. 単位行列を $E$ とし, $A^0 = E$ とする. 以下の問いに答えよ.

(a) $A$ の固有値をすべて求めよ.

(b) $A$ に逆行列が存在するかどうかを理由とともに述べよ.

(c) $S_n$ を

$$S_n = \sum_{i=0}^{n} A^i$$

とするとき

$$\lim_{n \to \infty} S_n$$

を求めよ.

题目描述

定义矩阵

$$A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3&2&-2\\ 1&2&0\\ 1&1&1 \end{pmatrix}.$$

记单位矩阵为 $E$，并规定 $A^0=E$。回答下列问题。

(a) 求 $A$ 的全部特征值。

(b) 说明 $A$ 是否存在逆矩阵，并给出理由。

(c) 定义

$$S_n=\sum_{i=0}^{n}A^i.$$

求

$$\lim_{n\to\infty}S_n.$$

Kai

(a) $M=6A$ とおく。直接計算すると

$$\det(xI-M)=(x-1)(x-2)(x-3).$$

したがって $A$ の固有値は

$$\boxed{\frac16,\ \frac13,\ \frac12}.$$

(b) 固有値の積より

$$\det A=\frac16\cdot\frac13\cdot\frac12=\frac1{36}\neq0.$$

よって $A$ は逆行列をもつ。

(c) $A$ のすべての固有値の絶対値は $1$ より小さいので $A^{n+1}\to O$ である。有限等比和

$$(I-A)S_n=I-A^{n+1}$$

から

$$\lim_{n\to\infty}S_n=(I-A)^{-1}.$$

実際，

$$\boxed{ (I-A)^{-1}= \begin{pmatrix} 2&\frac45&-\frac45\\ \frac12&\frac{17}{10}&-\frac15\\ \frac12&\frac12&1 \end{pmatrix} }.$$