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明治大学 先端数理科学研究科 現象数理学専攻 2020年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

(1) f(x,y)=x3+y3−9xy+1f(x,y) = x^3 + y^3 - 9xy + 1 とする。

(a) ff の勾配 ∇f\nabla f とヘッセ行列を求めよ。

(b) ff の極値をすべて求めよ。

(c) ff を (x,y)=(1,0)(x,y) = (1,0) でテイラー展開して、2次の項まで求めよ。3次の剰余項は計算しなくてもよい。

(2) 球 x2+y2+z2≤4a2x^2 + y^2 + z^2 \leq 4a^2 と円柱 x2+y2≤a2x^2 + y^2 \leq a^2 の共通部分 VV の体積を求めよ (a>0)(a > 0) 。

题目描述​

(1) 设

f(x,y)=x3+y3−9xy+1.f(x,y)=x^3+y^3-9xy+1.

(a) 求 ff 的梯度 ∇f\nabla f 与 Hessian 矩阵。

(b) 求 ff 的全部极值。

(c) 将 ff 在 (x,y)=(1,0)(x,y)=(1,0) 处作 Taylor 展开，写到二次项为止；无需计算三次余项。

(2) 求球体

x2+y2+z2≤4a2x^2+y^2+z^2\leq4a^2

与圆柱体

x2+y2≤a2x^2+y^2\leq a^2

的公共部分 VV 的体积，其中 a>0a>0。

Kai​

(1) (a) ∇f=(3x2−9y,3y2−9x)\nabla f = (3x^2 - 9y, 3y^2 - 9x)

H(f)=(6x−9−96y)H(f) = \begin{pmatrix} 6x & -9 \\ -9 & 6y \end{pmatrix}

(b) 極値を求めるには、 ∇f=0\nabla f = 0 となる点を求める。 3x2−9y=03x^2 - 9y = 0 より y=x23y = \frac{x^2}{3} 。 3y2−9x=03y^2 - 9x = 0 より y2=3xy^2 = 3x 。 したがって (x23)2=3x(\frac{x^2}{3})^2 = 3x なので x4=27xx^4 = 27x 。 x(x3−27)=0x(x^3 - 27) = 0 。 よって x=0x = 0 または x=3x = 3 。 x=0x = 0 のとき y=0y = 0 。 x=3x = 3 のとき y=3y = 3 。 停留点は (0,0)(0,0) と (3,3)(3,3) 。 H(f)(0,0)=(0−9−90)H(f)(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 0 \end{pmatrix} であり、det⁡H=−81<0\det H=-81<0 なので (0,0)(0,0) は鞍点。 H(f)(3,3)=(18−9−918)H(f)(3,3) = \begin{pmatrix} 18 & -9 \\ -9 & 18 \end{pmatrix} であり、det⁡H=324−81=243>0\det H=324-81=243>0 かつ 18>018>0 なので (3,3)(3,3) は極小値を取る。 f(3,3)=27+27−9(9)+1=55−81=−26f(3,3) = 27 + 27 - 9(9) + 1 = 55 - 81 = -26 。 よって、fは(3,3)で極小値-26を取る。

(c) f(1,0)=1+0−0+1=2f(1,0) = 1 + 0 - 0 + 1 = 2 。 fx=3x2−9yf_x = 3x^2 - 9y , fy=3y2−9xf_y = 3y^2 - 9x 。 fx(1,0)=3f_x(1,0) = 3 , fy(1,0)=−9f_y(1,0) = -9 。 fxx=6xf_{xx} = 6x , fxy=−9f_{xy} = -9 , fyy=6yf_{yy} = 6y 。 fxx(1,0)=6f_{xx}(1,0) = 6 , fxy(1,0)=−9f_{xy}(1,0) = -9 , fyy(1,0)=0f_{yy}(1,0) = 0 。 したがって、2次までのテイラー展開は f(x,y)≈f(1,0)+fx(1,0)(x−1)+fy(1,0)(y−0)+12fxx(1,0)(x−1)2+fxy(1,0)(x−1)y+12fyy(1,0)y2f(x,y) \approx f(1,0) + f_x(1,0)(x-1) + f_y(1,0)(y-0) + \frac{1}{2} f_{xx}(1,0)(x-1)^2 + f_{xy}(1,0)(x-1)y + \frac{1}{2} f_{yy}(1,0)y^2 =2+3(x−1)−9y+3(x−1)2−9(x−1)y+0= 2 + 3(x-1) - 9y + 3(x-1)^2 - 9(x-1)y + 0 =2+3x−3−9y+3(x2−2x+1)−9xy+9y= 2 + 3x - 3 - 9y + 3(x^2 - 2x + 1) - 9xy + 9y =3x2−3x−9xy+2= 3x^2 - 3x - 9xy + 2

(2) 円柱座標系 (r,θ,z)(r, \theta, z) を用いる。 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=zx = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z 。 x2+y2≤a2x^2 + y^2 \leq a^2 は r2≤a2r^2 \leq a^2 となるので r≤ar \leq a 。 球の式は r2+z2≤4a2r^2 + z^2 \leq 4a^2 となるので z2≤4a2−r2z^2 \leq 4a^2 - r^2 , つまり −4a2−r2≤z≤4a2−r2-\sqrt{4a^2 - r^2} \leq z \leq \sqrt{4a^2 - r^2} 。 V=∫02π∫0a∫−4a2−r24a2−r2rdzdrdθ=∫02π∫0a2r4a2−r2drdθV = \int_0^{2\pi} \int_0^a \int_{-\sqrt{4a^2 - r^2}}^{\sqrt{4a^2 - r^2}} r dz dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^a 2r\sqrt{4a^2 - r^2} dr d\theta ∫0a2r4a2−r2dr\int_0^a 2r\sqrt{4a^2 - r^2} dr で u=4a2−r2u = 4a^2 - r^2 とすると du=−2rdrdu = -2r dr であり、 ∫4a23a2−udu=∫3a24a2udu=23u3/2∣3a24a2=23(8a3−(33)a3)=23a3(8−33)\int_{4a^2}^{3a^2} - \sqrt{u} du = \int_{3a^2}^{4a^2} \sqrt{u} du = \frac{2}{3} u^{3/2} |_{3a^2}^{4a^2} = \frac{2}{3} (8a^3 - (3\sqrt{3})a^3) = \frac{2}{3} a^3 (8 - 3\sqrt{3}) V=∫02π23a3(8−33)dθ=4π3a3(8−33)V = \int_0^{2\pi} \frac{2}{3} a^3 (8 - 3\sqrt{3}) d\theta = \frac{4\pi}{3} a^3 (8 - 3\sqrt{3})

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