九州大学 理学府 物理学専攻 2019年8月実施 物理学 [III]
Author
Miyake
Description
Kai
[A]
(1)
の交換関係を使って、次のように計算できる：
(2)
(1) で得た交換関係を使って、次のように計算できる：
(3)
まず、
であるが、
最後の式はベクトル のノルムの2乗であるから非負であり、
したがって、 も非負である。
次に、整数でない非負の値 について
を満たす自然数 が存在するので、
この が の固有値であるとすると、
(2) の2番目の式より、
は の負の固有値
であることがわかるが、
これは の固有値が非負であることと矛盾する。
したがって、 の固有値は非負の整数でなければならない。
最後に、非負の整数 が の固有値だとすると、
(2) の1番目の式より、 も の固有値であることがわかり、
でない非負の整数 が の固有値だとすると、
(2) の2番目の式より、 も の固有値であることがわかるので、
結局、非負の整数はすべて の固有値であることがわかる。
(4)
[B]