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九州大学 理学府 物理学専攻 2019年8月実施 物理学 [III]

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Author​

Miyake

Description​

題意の要約。

[A]​

一次元調和振動子

H1=p^22m+mω2x^22,[x^,p^]=iℏ,a^=mω2ℏ(x^+ip^mω),a^†=mω2ℏ(x^−ip^mω),N^=a^†a^H_1=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat x^2}{2},\quad [\hat x,\hat p]=i\hbar,\quad \hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x+\frac{i\hat p}{m\omega}\right),\quad \hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x-\frac{i\hat p}{m\omega}\right),\quad \hat N=\hat a^\dagger\hat a

を考え、N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle、⟨m∣n⟩=δmn\langle m|n\rangle=\delta_{mn} とする。

  1. [a^,a^†]=1[\hat a,\hat a^\dagger]=1、[N^,a^]=−a^[\hat N,\hat a]=-\hat a、[N^,a^†]=a^†[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger を示し、H1H_1 を a^,a^†\hat a,\hat a^\dagger で表す。
  2. N^a^†∣n⟩=(n+1)a^†∣n⟩\hat N\hat a^\dagger|n\rangle=(n+1)\hat a^\dagger|n\rangle と N^a^∣n⟩=(n−1)a^∣n⟩\hat N\hat a|n\rangle=(n-1)\hat a|n\rangle を示す。
  3. nn が非負整数であることを示す。
  4. ⟨n∣x^2∣n⟩\langle n|\hat x^2|n\rangle、⟨n∣p^2∣n⟩\langle n|\hat p^2|n\rangle とその積を求める。

次に、質量がともに mm の独立な振動子を ++ 型、−- 型とし、

H2=p^+2+p^−22m+mω+2x^+2+mω−2x^−22H_2=\frac{\hat p_+^2+\hat p_-^2}{2m} +\frac{m\omega_+^2\hat x_+^2+m\omega_-^2\hat x_-^2}{2}

とする。異なる型の演算子は可換で、同じ型では上の交換関係が成立する。

  1. ω+=ω\omega_+=\omega、ω−=2ω\omega_-=2\omega の場合にエネルギーを n+,n−n_+,n_- で表し、基底状態から第3励起状態までのエネルギーと縮退度を求める。
  2. J^+=ℏa^+†a^−\hat J_+=\hbar\hat a_+^\dagger\hat a_-、J^−=ℏa^−†a^+\hat J_-=\hbar\hat a_-^\dagger\hat a_+、J^z=ℏ2(N^+−N^−)\hat J_z=\frac\hbar2(\hat N_+-\hat N_-)、N^±=a^±†a^±\hat N_\pm=\hat a_\pm^\dagger\hat a_\pm とする。[J^+,J^−]=2ℏJ^z[\hat J_+,\hat J_-]=2\hbar\hat J_z を示す。
  3. N^=N^++N^−\hat N=\hat N_++\hat N_- として、J^2=J^z2+12(J^+J^−+J^−J^+)\hat J^2=\hat J_z^2+\frac12(\hat J_+\hat J_-+\hat J_-\hat J_+) を ℏ,N^\hbar,\hat N で表す。

[B]​

二準位系に対し

H0(λ)=(kλ00−kλ),ψ1=(01),ψ2=(10),k>0,λ∈RH_0(\lambda)=\begin{pmatrix}k\lambda&0\\0&-k\lambda\end{pmatrix},\quad \psi_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad \psi_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad k>0,\quad\lambda\in\mathbb R

とする。

  1. ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 のエネルギー E1,E2E_1,E_2 を求め、−1<λ<1-1<\lambda<1 でグラフを描く。
  2. Hp=(0cc∗0)H_p=\begin{pmatrix}0&c\\c^*&0\end{pmatrix}（c∈Cc\in\mathbb C）を加えた系の固有値 E1′,E2′E'_1,E'_2 を小さい方から求め、(1) のグラフに区別して描き加える。
  3. λ>0\lambda>0 とし、δEu=E2−E1\delta E_u=E_2-E_1、δEp=E2′−E1′\delta E_p=E'_2-E'_1、r=δEu/cr=\delta E_u/c とおく。δEp/δEu\delta E_p/\delta E_u を rr で表す。
  4. 固有状態を ψ1′=αψ1+βψ2\psi'_1=\alpha\psi_1+\beta\psi_2、ψ2′=−β∗ψ1+α∗ψ2\psi'_2=-\beta^*\psi_1+\alpha^*\psi_2 と書く。∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1 を用い、∣α∣,∣β∣|\alpha|,|\beta| を rr で表す。

出典：九州大学 令和2年度 物理学III。

题目描述​

A（量子简谐振子）：考虑质量为 mm、角频率为 ω\omega 的一维简谐振子，[x^,p^]=iℏ[\hat x,\hat p]=i\hbar。产生算符 a^†\hat a^\dagger、湮灭算符 a^\hat a 按上方定义，数算符为 N^=a^†a^\hat N=\hat a^\dagger\hat a，归一化本征态满足 N^∣n⟩=n∣n⟩\hat N|n\rangle=n|n\rangle。

  1. 求 [a^,a^†][\hat a,\hat a^\dagger]、[N^,a^][\hat N,\hat a]、[N^,a^†][\hat N,\hat a^\dagger]，并用产生、湮灭算符表示 Hamiltonian。
  2. 证明 a^†∣n⟩\hat a^\dagger|n\rangle、a^∣n⟩\hat a|n\rangle 在非零时分别属于 N^\hat N 的本征值 n+1n+1、n−1n-1。
  3. 证明数算符的本征值为非负整数。
  4. 求 ⟨n∣x^2∣n⟩\langle n|\hat x^2|n\rangle、⟨n∣p^2∣n⟩\langle n|\hat p^2|n\rangle 及二者乘积。

再考虑质量同为 mm 的两个独立振子，分别用 ++、−- 标记，不同振子的算符对易。

  1. 当 ω+=ω\omega_+=\omega、ω−=2ω\omega_-=2\omega 时，用 n+,n−n_+,n_- 表示能量，并给出基态至第三激发能级的能量和简并度。
  2. 定义 J^+=ℏa^+†a^−\hat J_+=\hbar\hat a_+^\dagger\hat a_-、J^−=ℏa^−†a^+\hat J_-=\hbar\hat a_-^\dagger\hat a_+、J^z=ℏ2(N^+−N^−)\hat J_z=\frac\hbar2(\hat N_+-\hat N_-)，证明 [J^+,J^−]=2ℏJ^z[\hat J_+,\hat J_-]=2\hbar\hat J_z。
  3. 令 N^=N^++N^−\hat N=\hat N_++\hat N_-，用 ℏ,N^\hbar,\hat N 表示 J^2=J^z2+12(J^+J^−+J^−J^+)\hat J^2=\hat J_z^2+\frac12(\hat J_+\hat J_-+\hat J_-\hat J_+)。

B（二能级系统）：设

H0(λ)=(kλ00−kλ),ψ1=(01),ψ2=(10),k>0,λ∈R.H_0(\lambda)=\begin{pmatrix}k\lambda&0\\0&-k\lambda\end{pmatrix},\quad \psi_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad \psi_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad k>0,\quad\lambda\in\mathbb R.
  1. 求 ψ1,ψ2\psi_1,\psi_2 的能量 E1,E2E_1,E_2，并在 −1<λ<1-1<\lambda<1 内画图。
  2. 加入扰动 Hp=(0cc∗0)H_p=\begin{pmatrix}0&c\\c^*&0\end{pmatrix}（c∈Cc\in\mathbb C），求按从小到大排列的能量 E1′,E2′E'_1,E'_2，并画在同一图中加以区分。
  3. 在 λ>0\lambda>0 时令 δEu=E2−E1\delta E_u=E_2-E_1、δEp=E2′−E1′\delta E_p=E'_2-E'_1、r=δEu/cr=\delta E_u/c，用 rr 表示 δEp/δEu\delta E_p/\delta E_u。
  4. 将本征态写成 ψ1′=αψ1+βψ2\psi'_1=\alpha\psi_1+\beta\psi_2、ψ2′=−β∗ψ1+α∗ψ2\psi'_2=-\beta^*\psi_1+\alpha^*\psi_2，利用归一化条件 ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1，用 rr 表示 ∣α∣,∣β∣|\alpha|,|\beta|。

Kai​

[A]​

(1)​

x^,p^\hat{x}, \hat{p} の交換関係を使って、次のように計算できる：

[a^,a^†]=mω2ℏ⋅−2imω[x^,p^]=1[N^,a^]=[a^†a^,a^]=a^†[a^,a^]+[a^†,a^]a^=−a^[N^,a^†]=[a^†a^,a^†]=a^†[a^,a^†]+[a^†,a^†]a^=a^† \begin{aligned} \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] &= \frac{m \omega}{2 \hbar} \cdot \frac{-2i}{m \omega} \left[ \hat{x}, \hat{p} \right] \\ &= 1 \\ \left[ \hat{N}, \hat{a} \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a} \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a} \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a} \right] \hat{a} \\ &= - \hat{a} \\ \left[ \hat{N}, \hat{a}^\dagger \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger \right] \hat{a} \\ &= \hat{a}^\dagger \end{aligned}

また、

H1=ℏω2(a^a^†+a^†a^)=ℏω(N^+12).H_1=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a) =\hbar\omega\left(\hat N+\frac12\right).

(2)​

(1) で得た交換関係を使って、次のように計算できる：

N^a^†∣n⟩=(a^†N^+a^†)∣n⟩=(n+1)a^†∣n⟩N^a^∣n⟩=(a^N^−a^)∣n⟩=(n−1)a^∣n⟩ \begin{aligned} \hat{N} \hat{a}^\dagger | n \rangle &= \left( \hat{a}^\dagger \hat{N} + \hat{a}^\dagger \right) | n \rangle \\ &= \left( n + 1 \right) \hat{a}^\dagger | n \rangle \\ \hat{N} \hat{a} | n \rangle &= \left( \hat{a} \hat{N} - \hat{a} \right) | n \rangle \\ &= \left( n - 1 \right) \hat{a} | n \rangle \end{aligned}

(3)​

規格化された固有状態に対し、n=⟨n∣a^†a^∣n⟩=∥a^∣n⟩∥2≥0n=\langle n|\hat a^\dagger\hat a|n\rangle=\|\hat a|n\rangle\|^2\ge0 である。

非整数の固有値 ν≥0\nu\ge0 があると仮定し、k=⌊ν⌋+1k=\lfloor\nu\rfloor+1 とする。このとき

∥a^k∣ν⟩∥2=ν(ν−1)⋯(ν−k+1)>0.\|\hat a^k|\nu\rangle\|^2 =\nu(\nu-1)\cdots(\nu-k+1)>0.

したがって、この非零ベクトルは固有値 ν−k<0\nu-k<0 に属することになり矛盾する。よって固有値は非負整数に限られる。

なお、a^∣0⟩=0\hat a|0\rangle=0 は位置表示で規格化可能なガウス関数 ψ0(x)∝e−mωx2/(2ℏ)\psi_0(x)\propto e^{-m\omega x^2/(2\hbar)} を解に持つ。∥a^†∣n⟩∥2=n+1>0\|\hat a^\dagger|n\rangle\|^2=n+1>0 なので、これを繰り返し上げるとすべての非負整数が得られる。

(4)​

x^=ℏ2mω(a^†+a^)p^=imℏω2(a^†−a^)x^2=ℏ2mω(a^†a^†+a^†a^+a^a^†+a^a^)=ℏ2mω(2N^+1+a^†a^†+a^a^)p^2=−mℏω2(a^†a^†−a^†a^−a^a^†+a^a^)=mℏω2(2N^+1−a^†a^†−a^a^)⟨n∣x^2∣n⟩=ℏ2mω(2n+1)⟨n∣p^2∣n⟩=mℏω2(2n+1)⟨n∣x^2∣n⟩⟨n∣p^2∣n⟩=ℏ24(2n+1)2\begin{aligned} \hat{x} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) \\ \hat{p} &= i \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}} \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) \\ \hat{x}^2 &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( 2 \hat{N} + 1 + \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ \hat{p}^2 &= - \frac{m \hbar \omega}{2} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{m \hbar \omega}{2} \left( 2 \hat{N} + 1 - \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a} \hat{a} \right) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar}{2 m \omega} (2n+1) \\ \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{m \hbar \omega}{2} (2n+1) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar^2}{4} (2n+1)^2 \end{aligned}

(5)​

独立な二振動子のエネルギーを足すと

En+,n−=ℏω(n++2n−+32).E_{n_+,n_-}=\hbar\omega\left(n_++2n_-+\frac32\right).
状態(n+,n−)(n_+,n_-)エネルギー縮退度
基底(0,0)(0,0)3ℏω/23\hbar\omega/21
第1励起(1,0)(1,0)5ℏω/25\hbar\omega/21
第2励起(2,0),(0,1)(2,0),(0,1)7ℏω/27\hbar\omega/22
第3励起(3,0),(1,1)(3,0),(1,1)9ℏω/29\hbar\omega/22

(6)​

異なる型の演算子の可換性より

J^+J^−=ℏ2N^+(N^−+1),J^−J^+=ℏ2N^−(N^++1).\hat J_+\hat J_-=\hbar^2\hat N_+(\hat N_-+1),\qquad \hat J_-\hat J_+=\hbar^2\hat N_-(\hat N_++1).

差を取れば [J^+,J^−]=ℏ2(N^+−N^−)=2ℏJ^z[\hat J_+,\hat J_-]=\hbar^2(\hat N_+-\hat N_-)=2\hbar\hat J_z となる。

(7)​

J^2=ℏ24(N^+−N^−)2+ℏ22(2N^+N^−+N^++N^−)=ℏ24N^(N^+2).\begin{aligned} \hat J^2 &=\frac{\hbar^2}{4}(\hat N_+-\hat N_-)^2 +\frac{\hbar^2}{2}(2\hat N_+\hat N_-+\hat N_++\hat N_-)\\ &=\frac{\hbar^2}{4}\hat N(\hat N+2). \end{aligned}

[B]​

(1)​

E1=−kλE_1=-k\lambda、E2=kλE_2=k\lambda であり、λ=0\lambda=0 で交差する直線になる。

(2)​

D=k2λ2+∣c∣2D=\sqrt{k^2\lambda^2+|c|^2} とおくと

det⁡(EI−H0−Hp)=E2−k2λ2−∣c∣2,E1′=−D,E2′=D.\det(EI-H_0-H_p)=E^2-k^2\lambda^2-|c|^2, \qquad E'_1=-D,\quad E'_2=D.

c≠0c\ne0 なら最小ギャップは λ=0\lambda=0 での 2∣c∣2|c| となり、準位は交差しない。c=0c=0 では E1,2′=∓k∣λ∣E'_{1,2}=\mp k|\lambda| で、λ=0\lambda=0 では縮退する。

無摂動準位と結合による反交差

(3)​

λ>0\lambda>0、c≠0c\ne0 では

δEpδEu=2D2kλ=1+4∣r∣2.\frac{\delta E_p}{\delta E_u} =\frac{2D}{2k\lambda} =\sqrt{1+\frac{4}{|r|^2}}.

cc が実数の場合には ∣r∣2=r2|r|^2=r^2 と書ける。c=0c=0 では rr は定義されないが、ギャップの比は 11 である。

(4)​

ψ1′=(β,α)T\psi'_1=(\beta,\alpha)^{\mathsf T} の固有方程式から

(kλ+D)β+cα=0.(k\lambda+D)\beta+c\alpha=0.

規格化条件と D2−k2λ2=∣c∣2D^2-k^2\lambda^2=|c|^2 を用いると

∣α∣2=12(1+kλD),∣β∣2=12(1−kλD).|\alpha|^2=\frac12\left(1+\frac{k\lambda}{D}\right),\qquad |\beta|^2=\frac12\left(1-\frac{k\lambda}{D}\right).

したがって

∣α∣=12(1+11+4/∣r∣2),∣β∣=12(1−11+4/∣r∣2).\boxed{|\alpha|=\sqrt{\frac12\left(1+\frac1{\sqrt{1+4/|r|^2}}\right)}},\qquad \boxed{|\beta|=\sqrt{\frac12\left(1-\frac1{\sqrt{1+4/|r|^2}}\right)}}.

c=0c=0、λ>0\lambda>0 の場合には ∣α∣=1|\alpha|=1、∣β∣=0|\beta|=0 となる。

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