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九州大学 理学府 物理学専攻 2019年8月実施 物理学 [III]

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Author​

Miyake

Description​

Kai​

[A]​

(1)​

x^,p^\hat{x}, \hat{p} の交換関係を使って、次のように計算できる：

[a^,a^†]=mω2ℏ⋅−2imω[x^,p^]=1[N^,a^]=[a^†a^,a^]=a^†[a^,a^]+[a^†,a^]a^=−a^[N^,a^†]=[a^†a^,a^†]=a^†[a^,a^†]+[a^†,a^†]a^=a^† \begin{aligned} \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] &= \frac{m \omega}{2 \hbar} \cdot \frac{-2i}{m \omega} \left[ \hat{x}, \hat{p} \right] \\ &= 1 \\ \left[ \hat{N}, \hat{a} \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a} \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a} \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a} \right] \hat{a} \\ &= - \hat{a} \\ \left[ \hat{N}, \hat{a}^\dagger \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger \right] \hat{a} \\ &= \hat{a}^\dagger \end{aligned}

(2)​

(1) で得た交換関係を使って、次のように計算できる：

N^a^†∣n⟩=(a^†N^+a^†)∣n⟩=(n+1)a^†∣n⟩N^a^∣n⟩=(a^N^−a^)∣n⟩=(n−1)a^∣n⟩ \begin{aligned} \hat{N} \hat{a}^\dagger | n \rangle &= \left( \hat{a}^\dagger \hat{N} + \hat{a}^\dagger \right) | n \rangle \\ &= \left( n + 1 \right) \hat{a}^\dagger | n \rangle \\ \hat{N} \hat{a} | n \rangle &= \left( \hat{a} \hat{N} - \hat{a} \right) | n \rangle \\ &= \left( n - 1 \right) \hat{a} | n \rangle \end{aligned}

(3)​

まず、

n=⟨n∣N^∣n⟩=⟨n∣a^†a^∣n⟩\begin{aligned} n &= \langle n | \hat{N} | n \rangle \\ &= \langle n | \hat{a}^\dagger \hat{a} | n \rangle \end{aligned}

であるが、 最後の式はベクトル a^∣n⟩\hat{a} | n \rangle のノルムの2乗であるから非負であり、 したがって、 nn も非負である。

次に、整数でない非負の値 ν\nu について −1<ν−k<0-1 \lt \nu - k \lt 0 を満たす自然数 kk が存在するので、 この ν\nu が N^\hat{N} の固有値であるとすると、 (2) の2番目の式より、 a^k∣ν⟩\hat{a}^k | \nu \rangle は N^\hat{N} の負の固有値 ν−k\nu - k であることがわかるが、 これは N^\hat{N} の固有値が非負であることと矛盾する。 したがって、 N^\hat{N} の固有値は非負の整数でなければならない。

最後に、非負の整数 n1n_1 が N^\hat{N} の固有値だとすると、 (2) の1番目の式より、 n1+1n_1+1 も N^\hat{N} の固有値であることがわかり、 00 でない非負の整数 n2n_2 が N^\hat{N} の固有値だとすると、 (2) の2番目の式より、 n2−1n_2-1 も N^\hat{N} の固有値であることがわかるので、 結局、非負の整数はすべて N^\hat{N} の固有値であることがわかる。

(4)​

x^=ℏ2mω(a^†+a^)p^=imℏω2(a^†−a^)x^2=ℏ2mω(a^†a^†+a^†a^+a^a^†+a^a^)=ℏ2mω(2N^+1+a^†a^†+a^a^)p^2=−mℏω2(a^†a^†−a^†a^−a^a^†+a^a^)=mℏω2(2N^+1−a^†a^†−a^a^)⟨n∣x^2∣n⟩=ℏ2mω(2n+1)⟨n∣p^2∣n⟩=mℏω2(2n+1)⟨n∣x^2∣n⟩⟨n∣p^2∣n⟩=ℏ24(2n+1)2\begin{aligned} \hat{x} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) \\ \hat{p} &= i \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}} \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) \\ \hat{x}^2 &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( 2 \hat{N} + 1 + \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ \hat{p}^2 &= - \frac{m \hbar \omega}{2} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{m \hbar \omega}{2} \left( 2 \hat{N} + 1 - \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a} \hat{a} \right) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar}{2 m \omega} (2n+1) \\ \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{m \hbar \omega}{2} (2n+1) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar^2}{4} (2n+1)^2 \end{aligned}

[B]​

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