九州大学 理学府 物理学専攻 2019年8月実施 物理学 [III]

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• 九州大学
• 产生与湮灭算符
• 粒子数算符的谱
• 正则对易关系
• 量子可观测量的期望与方差

Author

Miyake

Description

題意の要約。

[A]

一次元調和振動子

$$H_1=\frac{\hat p^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat x^2}{2},\quad [\hat x,\hat p]=i\hbar,\quad \hat a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x+\frac{i\hat p}{m\omega}\right),\quad \hat a^\dagger=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x-\frac{i\hat p}{m\omega}\right),\quad \hat N=\hat a^\dagger\hat a$$

を考え、$\hat N|n\rangle=n|n\rangle$、$\langle m|n\rangle=\delta_{mn}$ とする。

1. $[\hat a,\hat a^\dagger]=1$、$[\hat N,\hat a]=-\hat a$、$[\hat N,\hat a^\dagger]=\hat a^\dagger$ を示し、$H_1$ を $\hat a,\hat a^\dagger$ で表す。
2. $\hat N\hat a^\dagger|n\rangle=(n+1)\hat a^\dagger|n\rangle$ と $\hat N\hat a|n\rangle=(n-1)\hat a|n\rangle$ を示す。
3. $n$ が非負整数であることを示す。
4. $\langle n|\hat x^2|n\rangle$、$\langle n|\hat p^2|n\rangle$ とその積を求める。

次に、質量がともに $m$ の独立な振動子を $+$ 型、$-$ 型とし、

$$H_2=\frac{\hat p_+^2+\hat p_-^2}{2m} +\frac{m\omega_+^2\hat x_+^2+m\omega_-^2\hat x_-^2}{2}$$

とする。異なる型の演算子は可換で、同じ型では上の交換関係が成立する。

5. $\omega_+=\omega$、$\omega_-=2\omega$ の場合にエネルギーを $n_+,n_-$ で表し、基底状態から第3励起状態までのエネルギーと縮退度を求める。
6. $\hat J_+=\hbar\hat a_+^\dagger\hat a_-$、$\hat J_-=\hbar\hat a_-^\dagger\hat a_+$、$\hat J_z=\frac\hbar2(\hat N_+-\hat N_-)$、$\hat N_\pm=\hat a_\pm^\dagger\hat a_\pm$ とする。$[\hat J_+,\hat J_-]=2\hbar\hat J_z$ を示す。
7. $\hat N=\hat N_++\hat N_-$ として、$\hat J^2=\hat J_z^2+\frac12(\hat J_+\hat J_-+\hat J_-\hat J_+)$ を $\hbar,\hat N$ で表す。

[B]

二準位系に対し

$$H_0(\lambda)=\begin{pmatrix}k\lambda&0\\0&-k\lambda\end{pmatrix},\quad \psi_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad \psi_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad k>0,\quad\lambda\in\mathbb R$$

とする。

1. $\psi_1,\psi_2$ のエネルギー $E_1,E_2$ を求め、$-1<\lambda<1$ でグラフを描く。
2. $H_p=\begin{pmatrix}0&c\\c^*&0\end{pmatrix}$（$c\in\mathbb C$）を加えた系の固有値 $E'_1,E'_2$ を小さい方から求め、(1) のグラフに区別して描き加える。
3. $\lambda>0$ とし、$\delta E_u=E_2-E_1$、$\delta E_p=E'_2-E'_1$、$r=\delta E_u/c$ とおく。$\delta E_p/\delta E_u$ を $r$ で表す。
4. 固有状態を $\psi'_1=\alpha\psi_1+\beta\psi_2$、$\psi'_2=-\beta^*\psi_1+\alpha^*\psi_2$ と書く。$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ を用い、$|\alpha|,|\beta|$ を $r$ で表す。

出典：九州大学 令和2年度 物理学III。

题目描述

A（量子简谐振子）：考虑质量为 $m$、角频率为 $\omega$ 的一维简谐振子，$[\hat x,\hat p]=i\hbar$。产生算符 $\hat a^\dagger$、湮灭算符 $\hat a$ 按上方定义，数算符为 $\hat N=\hat a^\dagger\hat a$，归一化本征态满足 $\hat N|n\rangle=n|n\rangle$。

1. 求 $[\hat a,\hat a^\dagger]$、$[\hat N,\hat a]$、$[\hat N,\hat a^\dagger]$，并用产生、湮灭算符表示 Hamiltonian。
2. 证明 $\hat a^\dagger|n\rangle$、$\hat a|n\rangle$ 在非零时分别属于 $\hat N$ 的本征值 $n+1$、$n-1$。
3. 证明数算符的本征值为非负整数。
4. 求 $\langle n|\hat x^2|n\rangle$、$\langle n|\hat p^2|n\rangle$ 及二者乘积。

再考虑质量同为 $m$ 的两个独立振子，分别用 $+$、$-$ 标记，不同振子的算符对易。

5. 当 $\omega_+=\omega$、$\omega_-=2\omega$ 时，用 $n_+,n_-$ 表示能量，并给出基态至第三激发能级的能量和简并度。
6. 定义 $\hat J_+=\hbar\hat a_+^\dagger\hat a_-$、$\hat J_-=\hbar\hat a_-^\dagger\hat a_+$、$\hat J_z=\frac\hbar2(\hat N_+-\hat N_-)$，证明 $[\hat J_+,\hat J_-]=2\hbar\hat J_z$。
7. 令 $\hat N=\hat N_++\hat N_-$，用 $\hbar,\hat N$ 表示 $\hat J^2=\hat J_z^2+\frac12(\hat J_+\hat J_-+\hat J_-\hat J_+)$。

B（二能级系统）：设

$$H_0(\lambda)=\begin{pmatrix}k\lambda&0\\0&-k\lambda\end{pmatrix},\quad \psi_1=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\quad \psi_2=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad k>0,\quad\lambda\in\mathbb R.$$

1. 求 $\psi_1,\psi_2$ 的能量 $E_1,E_2$，并在 $-1<\lambda<1$ 内画图。
2. 加入扰动 $H_p=\begin{pmatrix}0&c\\c^*&0\end{pmatrix}$（$c\in\mathbb C$），求按从小到大排列的能量 $E'_1,E'_2$，并画在同一图中加以区分。
3. 在 $\lambda>0$ 时令 $\delta E_u=E_2-E_1$、$\delta E_p=E'_2-E'_1$、$r=\delta E_u/c$，用 $r$ 表示 $\delta E_p/\delta E_u$。
4. 将本征态写成 $\psi'_1=\alpha\psi_1+\beta\psi_2$、$\psi'_2=-\beta^*\psi_1+\alpha^*\psi_2$，利用归一化条件 $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$，用 $r$ 表示 $|\alpha|,|\beta|$。

Kai

[A]

(1)

$\hat{x}, \hat{p}$ の交換関係を使って、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] &= \frac{m \omega}{2 \hbar} \cdot \frac{-2i}{m \omega} \left[ \hat{x}, \hat{p} \right] \\ &= 1 \\ \left[ \hat{N}, \hat{a} \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a} \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a} \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a} \right] \hat{a} \\ &= - \hat{a} \\ \left[ \hat{N}, \hat{a}^\dagger \right] &= \left[ \hat{a}^\dagger \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] \\ &= \hat{a}^\dagger \left[ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right] + \left[ \hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger \right] \hat{a} \\ &= \hat{a}^\dagger \end{aligned}$$

また、

$$H_1=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a) =\hbar\omega\left(\hat N+\frac12\right).$$

(2)

(1) で得た交換関係を使って、次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \hat{N} \hat{a}^\dagger | n \rangle &= \left( \hat{a}^\dagger \hat{N} + \hat{a}^\dagger \right) | n \rangle \\ &= \left( n + 1 \right) \hat{a}^\dagger | n \rangle \\ \hat{N} \hat{a} | n \rangle &= \left( \hat{a} \hat{N} - \hat{a} \right) | n \rangle \\ &= \left( n - 1 \right) \hat{a} | n \rangle \end{aligned}$$

(3)

規格化された固有状態に対し、$n=\langle n|\hat a^\dagger\hat a|n\rangle=\|\hat a|n\rangle\|^2\ge0$ である。

非整数の固有値 $\nu\ge0$ があると仮定し、$k=\lfloor\nu\rfloor+1$ とする。このとき

$$\|\hat a^k|\nu\rangle\|^2 =\nu(\nu-1)\cdots(\nu-k+1)>0.$$

したがって、この非零ベクトルは固有値 $\nu-k<0$ に属することになり矛盾する。よって固有値は非負整数に限られる。

なお、$\hat a|0\rangle=0$ は位置表示で規格化可能なガウス関数 $\psi_0(x)\propto e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}$ を解に持つ。$\|\hat a^\dagger|n\rangle\|^2=n+1>0$ なので、これを繰り返し上げるとすべての非負整数が得られる。

(4)

$$\begin{aligned} \hat{x} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \left( \hat{a}^\dagger + \hat{a} \right) \\ \hat{p} &= i \sqrt{\frac{m \hbar \omega}{2}} \left( \hat{a}^\dagger - \hat{a} \right) \\ \hat{x}^2 &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{\hbar}{2 m \omega} \left( 2 \hat{N} + 1 + \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ \hat{p}^2 &= - \frac{m \hbar \omega}{2} \left( \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a}^\dagger \hat{a} - \hat{a} \hat{a}^\dagger + \hat{a} \hat{a} \right) \\ &= \frac{m \hbar \omega}{2} \left( 2 \hat{N} + 1 - \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger - \hat{a} \hat{a} \right) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar}{2 m \omega} (2n+1) \\ \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{m \hbar \omega}{2} (2n+1) \\ \langle n | \hat{x}^2 | n \rangle \langle n | \hat{p}^2 | n \rangle &= \frac{\hbar^2}{4} (2n+1)^2 \end{aligned}$$

(5)

独立な二振動子のエネルギーを足すと

$$E_{n_+,n_-}=\hbar\omega\left(n_++2n_-+\frac32\right).$$

状態	$(n_+,n_-)$	エネルギー	縮退度
基底	$(0,0)$	$3\hbar\omega/2$	1
第1励起	$(1,0)$	$5\hbar\omega/2$	1
第2励起	$(2,0),(0,1)$	$7\hbar\omega/2$	2
第3励起	$(3,0),(1,1)$	$9\hbar\omega/2$	2

(6)

異なる型の演算子の可換性より

$$\hat J_+\hat J_-=\hbar^2\hat N_+(\hat N_-+1),\qquad \hat J_-\hat J_+=\hbar^2\hat N_-(\hat N_++1).$$

差を取れば $[\hat J_+,\hat J_-]=\hbar^2(\hat N_+-\hat N_-)=2\hbar\hat J_z$ となる。

(7)

$$\begin{aligned} \hat J^2 &=\frac{\hbar^2}{4}(\hat N_+-\hat N_-)^2 +\frac{\hbar^2}{2}(2\hat N_+\hat N_-+\hat N_++\hat N_-)\\ &=\frac{\hbar^2}{4}\hat N(\hat N+2). \end{aligned}$$

[B]

(1)

$E_1=-k\lambda$、$E_2=k\lambda$ であり、$\lambda=0$ で交差する直線になる。

(2)

$D=\sqrt{k^2\lambda^2+|c|^2}$ とおくと

$$\det(EI-H_0-H_p)=E^2-k^2\lambda^2-|c|^2, \qquad E'_1=-D,\quad E'_2=D.$$

$c\ne0$ なら最小ギャップは $\lambda=0$ での $2|c|$ となり、準位は交差しない。$c=0$ では $E'_{1,2}=\mp k|\lambda|$ で、$\lambda=0$ では縮退する。

(3)

$\lambda>0$、$c\ne0$ では

$$\frac{\delta E_p}{\delta E_u} =\frac{2D}{2k\lambda} =\sqrt{1+\frac{4}{|r|^2}}.$$

$c$ が実数の場合には $|r|^2=r^2$ と書ける。$c=0$ では $r$ は定義されないが、ギャップの比は $1$ である。

(4)

$\psi'_1=(\beta,\alpha)^{\mathsf T}$ の固有方程式から

$$(k\lambda+D)\beta+c\alpha=0.$$

規格化条件と $D^2-k^2\lambda^2=|c|^2$ を用いると

$$|\alpha|^2=\frac12\left(1+\frac{k\lambda}{D}\right),\qquad |\beta|^2=\frac12\left(1-\frac{k\lambda}{D}\right).$$

したがって

$$\boxed{|\alpha|=\sqrt{\frac12\left(1+\frac1{\sqrt{1+4/|r|^2}}\right)}},\qquad \boxed{|\beta|=\sqrt{\frac12\left(1-\frac1{\sqrt{1+4/|r|^2}}\right)}}.$$

$c=0$、$\lambda>0$ の場合には $|\alpha|=1$、$|\beta|=0$ となる。