九州大学 数理学府 数理学コース 2023年8月実施 基礎科目 [1]

Author

Miyake

Description

とし とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1) の固有値をすべて求めよ．

(2) Aの固有値が となるような を選ぶ．このとき，直交行列を用いて を対角化せよ．

Kai

(1)

の固有値を とすると、

である。

(2)

とすると であり となって条件を満たさない。

とすると であり となって条件を満たす。

とすると であり となって条件を満たさない。

よって、条件を満たすのは のときのみである。

のとき、

である。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得るので、規格化された固有ベクトルとして

がある。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。 1次独立な2つの固有ベクトルとして

があるが、これらは直交していない。 そこで、

とおくと、これは と直交する固有ベクトルである。 さらに、規格化して、

とする。

以上より、

が求める直交行列であり、

が成り立つ。