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九州大学 数理学府 数理学コース 2023年8月実施 基礎科目 [1]

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Author​

Miyake

Description​

a∈Ra \in \mathbb{R} とし A=(aa1a1a1aa)A = \begin{pmatrix} a & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1 & a & a \end{pmatrix} とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1) AA の固有値をすべて求めよ．

(2) Aの固有値が 3,−3,−33, −3, −3 となるような aa を選ぶ．このとき，直交行列を用いて AA を対角化せよ．

出典：九州大学 2024年度 基礎科目。

题目描述​

设 a∈Ra\in\mathbb R，并令

A=(aa1a1a1aa).A=\begin{pmatrix} a&a&1\\ a&1&a\\ 1&a&a \end{pmatrix}.
  1. 求 AA 的全部特征值。
  2. 选取使 AA 的特征值为 3,−3,−33,-3,-3 的参数 aa，并用正交矩阵将此时的 AA 对角化。

Kai​

(1)​

AA の固有値を λ\lambda とすると、

0=det⁡(a−λa1a1−λa1aa−λ)=−(λ−a+1)(λ+a−1)(λ−2a−1)∴  λ=a−1,−a+1,2a+1\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} a - \lambda & a & 1 \\ a & 1 - \lambda & a \\ 1 & a & a - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda - a + 1)(\lambda + a - 1)(\lambda - 2a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= a-1, -a+1, 2a+1 \end{aligned}

である。

(2)​

a−1=3a-1=3 とすると a=4a=4 であり 2a+1=92a+1=9 となって条件を満たさない。

−a+1=3-a+1=3 とすると a=−2a=-2 であり a−1=2a+1=−3a-1=2a+1=-3 となって条件を満たす。

2a+1=32a+1=3 とすると a=1a=1 であり a−1=0a-1=0 となって条件を満たさない。

よって、条件を満たすのは a=−2a=-2 のときのみである。

a=−2a=-2 のとき、

A=(−2−21−21−21−2−2)\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}

である。

固有値 33 に属する固有ベクトルを求めるため

(−5−21−2−2−21−2−5)(xyz)=(000)\begin{aligned} \begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 y=−2x,z=xy=-2x, z=x を得るので、規格化された固有ベクトルとして

v1=16(1−21)\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

がある。

固有値 −3-3 に属する固有ベクトルを求めるため

(1−21−24−21−21)(xyz)=(000)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、 x−2y+z=0x-2y+z=0 を得る。 1次独立な2つの固有ベクトルとして

u2=(10−1),  u3=(012)\begin{aligned} \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

があるが、これらは直交していない。 そこで、

u3′=u3−(u3⋅u2)u2∣u2∣2=(111)\begin{aligned} \boldsymbol{u}'_3 &= \boldsymbol{u}_3 - \frac{ \left( \boldsymbol{u}_3 \cdot \boldsymbol{u}_2 \right) \boldsymbol{u}_2 }{\left| \boldsymbol{u}_2 \right|^2} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、これは u2\boldsymbol{u}_2 と直交する固有ベクトルである。 さらに、規格化して、

v2=12(10−1),  v3=13(111)\begin{aligned} \boldsymbol{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

とする。

以上より、

P=(v1v2v3)=(161213−2601316−1213)\begin{aligned} P &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ - \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{aligned}

が求める直交行列であり、

P−1AP=(3000−3000−3)\begin{aligned} P^{-1} A P &= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

が成り立つ。

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