九州大学数理学府数理学コース 2017年8月実施専門科目 [10]

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$i=1,2, \cdots, n$ について、

\begin{aligned} E(X_i) &= \int_0^\theta x \cdot \frac{1}{\theta} dx \\ &= \frac{1}{\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^\theta \\ &= \frac{\theta}{2} \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} E(2 \bar{X}) &= E \left( \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) \\ &= \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) \\ &= \frac{2}{n} \cdot n \cdot \frac{\theta}{2} \\ &= \theta \end{aligned}

であるから、 $2 \bar{X}$ は $\theta$ の不偏推定量である。

$0 \leq z \lt \theta$ について、

\begin{aligned} P ( Z_2 \leq z ) &= P ( X_1 \leq z \text{ and } X_2 \leq z ) \\ &= P ( X_1 \leq z ) P ( X_2 \leq z ) \\ &= \left( \int_0^z \frac{1}{\theta} dx \right)^2 \\ &= \left( \frac{z}{\theta} \right)^2 \end{aligned}

であるから、求める確率密度関数 $f(z)$ は、

\begin{aligned} f(z) &= \frac{d}{dz} P ( Z_2 \leq z ) \\ &= \frac{2z}{\theta^2} \end{aligned}

である。ただし、 $z \lt 0, z \gt \theta$ については、

\begin{aligned} f(z) = 0 \end{aligned}

である。

$0 \leq z \lt \theta$ について、

\begin{aligned} P ( Z_n \leq z ) &= P ( X_1 \leq z \text{ and } X_2 \leq z \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \leq z ) \\ &= P ( X_1 \leq z ) P ( X_2 \leq z ) \cdots P ( X_n \leq z ) \\ &= \left( \int_0^z \frac{1}{\theta} dx \right)^n \\ &= \left( \frac{z}{\theta} \right)^n \end{aligned}

であるから、求める確率密度関数 $g(z)$ は、

\begin{aligned} g(z) &= \frac{d}{dz} P ( Z_n \leq z ) \\ &= \frac{n z^{n-1}}{\theta^n} \end{aligned}

である。ただし、 $z \lt 0, z \gt \theta$ については、

\begin{aligned} g(z) = 0 \end{aligned}

である。

\begin{aligned} E(Z_n) &= \int_{- \infty}^\infty z g(z) dz \\ &= \frac{n}{\theta^n} \int_0^\theta z^n dz \\ &= \frac{n}{n+1} \theta \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} E \left( \frac{n+1}{n} Z_n \right) &= \theta \end{aligned}

であり、 $\frac{n+1}{n} Z_n$ は $\theta$ の不偏推定量である。