九州大学 数理学府 MMAコース 2019年8月実施 [4]

标签：

• Kyushu-University
• Joint-Distribution
• Random-Variable-Transformation
• Convolution-of-Independent-Random-Variables
• Change-of-Variables-and-Jacobian

Author

Miyake

Description

题目描述

原 Description 未录入文字；由现有解答可确认：$X,Y$ 相互独立且具有相同概率密度 $f$，令 $Z=X+Y$。

1. 通过变量变换 $Z=X+Y,\ W=X$ 及 Jacobian，证明 $Z$ 的密度为卷积
   $$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(z-x)\,dx.$$
2. 当
   $$f(x)= \begin{cases} 2x,&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$
   时，求 $Z$ 在全部实数范围内的分段概率密度。

Kai

(1)

$z=x+y, w=x$ とすると、 $x=w, y=z-w$ であるから、

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}$$

である。 さらに、 $X,Y$ の同時確率密度関数は $f(x) f(y)$ であるから、 $Z=X+Y, W=X$ の同時確率密度関数 $f_{ZW}(z,w)$ は、

$$\begin{aligned} f_{ZW}(z,w) &= f(x) f(y) |-1| \\ &= f(w) f(z-w) \end{aligned}$$

である。 よって、

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= \int_{- \infty}^\infty f_{ZW}(z,w) dw \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(w) f(z-w) dw \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx \end{aligned}$$

を得る。

(2)

(1) で示した通り、

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= \int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx \end{aligned}$$

であるが、今の場合、 $0 \leq x \leq 1$ かつ $0 \leq z-x \leq 1$ の場合以外は被積分関数は $0$ である。 それをふまえて、 $0 \leq z \leq 1$ のときは、

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= 4 \int_0^z x (z-x) dx \\ &= \frac{2}{3} z^3 \end{aligned}$$

であり、 $1 \leq z \leq 2$ のときは、

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= 4 \int_{z-1}^1 x (z-x) dx \\ &= \frac{2}{3} ( - z^3 + 6x - 4 ) \end{aligned}$$

であり、 それ以外のときは、

$$\begin{aligned} f_Z(z) &= 0 \end{aligned}$$

である。