九州大学数理学府 MMAコース 2019年8月実施 [4]

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Miyake, 祭音Myyura

題意の要約。

独立な連続確率変数 $X,Y$ は同じ密度 $f$ を持つ。 $Z=X+Y$ の密度を $f_Z$ とする。

$X,Y$ 相互独立且具有相同概率密度 $f$ ，令 $Z=X+Y$ 。

通过变量变换 $Z=X+Y,\ W=X$ 及 Jacobian，证明 $Z$ 的密度为卷积

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(z-x)\,dx.$
当

$f(x)= \begin{cases} 2x,&0\le x\le1,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$

时，求 $Z$ 在全部实数范围内的分段概率密度。

$z=x+y, w=x$ とすると、 $x=w, y=z-w$ であるから、

\begin{aligned} \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}

である。さらに、 $X,Y$ の同時確率密度関数は $f(x) f(y)$ であるから、 $Z=X+Y, W=X$ の同時確率密度関数 $f_{ZW}(z,w)$ は、

\begin{aligned} f_{ZW}(z,w) &= f(x) f(y) |-1| \\ &= f(w) f(z-w) \end{aligned}

である。よって、

\begin{aligned} f_Z(z) &= \int_{- \infty}^\infty f_{ZW}(z,w) dw \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(w) f(z-w) dw \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx \end{aligned}

を得る。

(1) で示した通り、

\begin{aligned} f_Z(z) &= \int_{- \infty}^\infty f(x) f(z-x) dx \end{aligned}

であるが、今の場合、 $0 \leq x \leq 1$ かつ $0 \leq z-x \leq 1$ の場合以外は被積分関数は $0$ である。それをふまえて、 $0 \leq z \leq 1$ のときは、

\begin{aligned} f_Z(z) &= 4 \int_0^z x (z-x) dx \\ &= \frac{2}{3} z^3 \end{aligned}

であり、 $1 \leq z \leq 2$ のときは、

\begin{aligned} f_Z(z) &= 4 \int_{z-1}^1 x (z-x) dx \\ &= \frac{2}{3} ( - z^3 + 6z - 4 ) \end{aligned}

であり、それ以外のときは、

\begin{aligned} f_Z(z) &= 0 \end{aligned}

である。