九州大学 数理学府 MMAコース 2018年8月実施 [3]

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• Kyushu-University
• Unbiased-Estimation
• Minimum-Variance-Linear-Unbiased-Combination
• Constrained-Optimization

Author

Miyake

Description

题目描述

原 Description 未录入文字；由现有解答可确认：从均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的总体取得三组彼此独立的样本，样本量分别为 $l,m,n$，相应样本均值记为 $\bar X,\bar Y,\bar Z$。考虑线性组合

$$T=a\bar X+b\bar Y+c\bar Z.$$

1. 求 $T$ 成为 $\mu$ 的无偏估计量的充要条件。
2. 在无偏条件下，求使 $V(T)$ 最小的系数 $a,b,c$。

考点

• 无偏线性组合：由三个样本均值的共同期望得到系数和约束。
• 独立样本均值的方差：利用独立性把组合方差写成 $a^2/l+b^2/m+c^2/n$ 的形式。
• 约束优化：在 $a+b+c=1$ 下用拉格朗日乘子求最小方差权重，体现权重与样本量成正比。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} E(T) &= a E( \bar{X} ) + b E( \bar{Y} ) + c E( \bar{Z} ) \\ &= (a+b+c) \mu \end{aligned}$$

であるから、 $T$ が $\mu$ の不偏推定量となるための必要十分条件は、

$$\begin{aligned} a+b+c=1 \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} V(T) &= a^2 V( \bar{X} ) + b^2 V( \bar{Y} ) + c^2 V( \bar{Z} ) \\ &= a^2 \cdot \frac{\sigma^2}{l} + b^2 \cdot \frac{\sigma^2}{m} + c^2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} \\ &= \left( \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} \right) \sigma^2 \end{aligned}$$

そこで、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、

$$\begin{aligned} f(a,b,c) = \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} - \lambda (a+b+c) \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial a} &= \frac{2a}{l} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial b} &= \frac{2b}{m} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial c} &= \frac{2c}{n} - \lambda \end{aligned}$$

よって、 $V(T)$ を最小にする $a,b,c$ は

$$\begin{aligned} a &= \frac{l}{l+m+n} \\ b &= \frac{m}{l+m+n} \\ c &= \frac{n}{l+m+n} \end{aligned}$$

である。