九州大学数理学府 MMAコース 2018年8月実施 [3]

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Miyake, 祭音Myyura

題意の要約（暫定）。

平均 $\mu$ 、分散 $\sigma^2$ の母集団から、互いに独立な大きさ $l,m,n$ の標本を取り、標本平均を $\bar X,\bar Y,\bar Z$ とする。 $T=a\bar X+b\bar Y+c\bar Z$ を考える。

从均值为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ 的总体取得三组彼此独立的样本，样本量分别为 $l,m,n$ ，相应样本均值记为 $\bar X,\bar Y,\bar Z$ 。考虑线性组合

T=a\bar X+b\bar Y+c\bar Z.

\begin{aligned} E(T) &= a E( \bar{X} ) + b E( \bar{Y} ) + c E( \bar{Z} ) \\ &= (a+b+c) \mu \end{aligned}

であるから、 $T$ が $\mu$ の不偏推定量となるための必要十分条件は、

\begin{aligned} a+b+c=1 \end{aligned}

である。

\begin{aligned} V(T) &= a^2 V( \bar{X} ) + b^2 V( \bar{Y} ) + c^2 V( \bar{Z} ) \\ &= a^2 \cdot \frac{\sigma^2}{l} + b^2 \cdot \frac{\sigma^2}{m} + c^2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} \\ &= \left( \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} \right) \sigma^2 \end{aligned}

そこで、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、

\begin{aligned} f(a,b,c) = \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} - \lambda (a+b+c-1) \end{aligned}

とおくと、

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial a} &= \frac{2a}{l} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial b} &= \frac{2b}{m} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial c} &= \frac{2c}{n} - \lambda \end{aligned}

よって、 $V(T)$ を最小にする $a,b,c$ は

\begin{aligned} a &= \frac{l}{l+m+n} \\ b &= \frac{m}{l+m+n} \\ c &= \frac{n}{l+m+n} \end{aligned}

である。

この停留点で最小になることは、 $a+b+c=1$ と Cauchy–Schwarz の不等式から

1=(a+b+c)^2\le(l+m+n)\left(\frac{a^2}{l}+\frac{b^2}{m}+\frac{c^2}{n}\right)

と分かる。等号は $a/l=b/m=c/n$ のときに成立し、最小分散は $\sigma^2/(l+m+n)$ である。なお、 $\sigma^2=0$ の退化した母集団では、 $a+b+c=1$ を満たすすべての係数で分散は $0$ となる。