九州大学 数理学府 MMAコース 2017年8月実施 [6]

标签：

• Kyushu-University
• Mixed-Distribution
• Unbiased-Estimation

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約（暫定）。

$X_1,\ldots,X_n$ は互いに独立で、同じ混合分布 $\frac12N(\mu,\sigma^2)+\frac12N(c\mu,\sigma^2)$ に従う。$\sigma>0$、$\mu,c\in\mathbb R$ とし、$\bar X=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$ とおく。

1. $E(X_i)$ を求め、$\bar X$ を用いて $\mu$ の不偏推定量を構成する。
2. $V(X_i)$ と $V(\bar X)$ を求める。
3. $V(\bar X)$ を最小にする $c$ を求める。

题目描述

$X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且服从等权混合正态分布

$$\frac12N(\mu,\sigma^2)+\frac12N(c\mu,\sigma^2),$$

其中 $\sigma>0$、$\mu,c\in\mathbb R$，$\bar X=n^{-1}\sum_{i=1}^nX_i$。

1. 求 $E(X_i)$，并构造由 $\bar X$ 给出的 $\mu$ 的无偏估计量。
2. 求 $V(X_i)$ 与 $V(\bar X)$。
3. 求使 $V(\bar X)$ 最小的参数 $c$。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} E(X_i) &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx \\ &\ \ \ \ + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} \mu + \frac{1}{2} c \mu \\ &= \frac{1+c}{2} \mu \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} E(\bar{X}) &= \frac{1+c}{2} \mu \end{aligned}$$

であるから、$c\ne-1$ のとき $\frac{2}{1+c} \bar{X}$ は $\mu$ の不偏推定量である。 $c=-1$ のときは分布が $\mu$ と $-\mu$ で同じなので、$\mu$ の不偏推定量は存在しない。

(2)

$$\begin{aligned} E(X_i^2) &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x^2 \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx \\ &\ \ \ \ + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x^2 \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} ( \sigma^2 + \mu^2 ) + \frac{1}{2} ( \sigma^2 + c^2 \mu^2 ) \\ &= \sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2 \\ V(X_i) &= E(X_i^2) - E(X_i)^2 \\ &= \sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2 - \left( \frac{1+c}{2} \mu \right)^2 \\ &= \sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} V(\bar{X}) &= \frac{1}{n} \left( \sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2 \right) \end{aligned}$$

を得る。

(3)

(2) より、$\mu\ne0$ のとき $V(\bar{X})$ が最小になるのは $c=1$ のときである。$\mu=0$ のときは任意の $c$ で同じ値となる。