九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2022年8月実施 ③ 線形代数

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約。

$$a_{n+3}-4a_{n+2}+a_{n+1}+6a_n=0,\qquad a_0=1,\ a_1=12,\ a_2=24, \qquad \boldsymbol u_n=(a_n,a_{n+1},a_{n+2})^{\mathsf T}.$$

1. $\boldsymbol u_{n+1}=A\boldsymbol u_n$ を満たす $3\times3$ 行列 $A$ を求める。
2. $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。
3. $B=P^{-1}AP$ を対角行列にする $P$ と $P^{-1}$ を求める。
4. $B^n=P^{-1}A^nP$ を用いて $A^n$ を求める。
5. $\boldsymbol u_n=A^n\boldsymbol u_0$ から一般項 $a_n$ を求める。

出典：九州大学 令和5年度 船舶海洋工学専攻。

题目描述

数列 $\{a_n\}$ 满足

$$a_{n+3}=4a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n, \qquad (a_0,a_1,a_2)=(1,12,24),$$

并定义状态向量

$$\boldsymbol u_n=(a_n,a_{n+1},a_{n+2})^\top.$$

1. 求使 $\boldsymbol u_{n+1}=A\boldsymbol u_n$ 成立的矩阵 $A$。
2. 求 $A$ 的全部特征值及相应特征向量。
3. 求可逆矩阵 $P$ 及其逆矩阵 $P^{-1}$，将 $A$ 对角化为 $P^{-1}AP$。
4. 求一般的 $A^n$。
5. 利用上述结果求数列通项 $a_n$。

Kai

問題 1

(1)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{u}_{n+1} &= \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_{n+2} \\ a_{n+3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_{n+1} \\ a_{n+2} \\ 4a_{n+2} - a_{n+1} - 6a_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ a_{n+1} \\ a_{n+2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} A &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -6 & -1 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(2)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ -6 & -1 & 4-\lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3) \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 2, 3 \end{aligned}$$

を得る。

$\lambda=-1$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -6 & -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x=-y=z$ を得る。

$\lambda=2$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ -6 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y=2x, z=4x$ を得る。

$\lambda=3$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ -6 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y=3x, z=9x$ を得る。

よって、固有値 $\lambda=-1,2,3$ のそれぞれに属する固有ベクトルとして、例えば、

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がある。

(3)

$$\begin{aligned} P &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、行列の基本変形または余因子行列を使った方法により、

$$\begin{aligned} P^{-1} &= \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 6 & -5 & 1 \\ 12 & 8 & -4 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

がわかり、

$$\begin{aligned} B &= P^{-1} A P \\ &= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

と対角化される。

(4)

$$\begin{aligned} A^n &= P B^n P^{-1} \\ &= \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -5 & 1 \\ 12 & 8 & -4 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{(-1)^n}{2} + 2^n - \frac{3^n}{2} & \frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+1}}{3} - \frac{3^n}{4} & \frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^n}{3} + \frac{3^n}{4} \\ \frac{(-1)^{n+1}}{2} + 2^{n+1} - \frac{3^{n+1}}{2} & \frac{5(-1)^n}{12} + \frac{2^{n+2}}{3} - \frac{3^{n+1}}{4} & \frac{(-1)^{n+1}}{12} - \frac{2^{n+1}}{3} + \frac{3^{n+1}}{4} \\ \frac{(-1)^n}{2} + 2^{n+2} - \frac{3^{n+2}}{2} & \frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+3}}{3} - \frac{3^{n+2}}{4} & \frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^{n+2}}{3} + \frac{3^{n+2}}{4} \\ \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} a_n &= \begin{pmatrix} \frac{(-1)^n}{2} + 2^n - \frac{3^n}{2} & \frac{5(-1)^{n+1}}{12} + \frac{2^{n+1}}{3} - \frac{3^n}{4} & \frac{(-1)^n}{12} - \frac{2^n}{3} + \frac{3^n}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \\ 24 \end{pmatrix} \\ &= \frac{5(-1)^{n+1}}{2} + 2^n + \frac{5 \cdot 3^n}{2} \end{aligned}$$