九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2022年8月実施 ② 関数論

标签：

• Kyushu-University
• Harmonic-Functions-and-Harmonic-Conjugates
• Cauchy-Riemann-Equations
• Residue-Theorem

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約。$z=x+iy$（$x,y\in\mathbb R$）とする。

問題 1

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ に対し、次を求める。

1. $u(x,y)=e^x\cos y$ が調和関数であることを示す。
2. $f$ の Cauchy–Riemann の関係式を書く。
3. (1) の $u$ を実部とする正則関数を求める。

問題 2

円 $C:|z-1|=\sqrt2$ を正の向きに一周するとき、$\displaystyle\int_C\frac{dz}{z^2+2iz-4}$ を求める。

出典：九州大学 令和5年度 船舶海洋工学専攻。

题目描述

问题 1：设

$$u(x,y)=e^x\cos y.$$

1. 证明 $u$ 是调和函数。
2. 写出复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 满足的柯西–黎曼方程。
3. 求以 $u$ 为实部的全部全纯函数 $f$。

问题 2：设 $C$ 为沿正方向（逆时针）绕行一周的圆

$$|z-1|=\sqrt2,$$

计算

$$\int_C\frac{dz}{z^2+2iz-4}.$$

Kai

問題 1

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} &= e^x \cos y - e^x \cos y \\ &= 0 \end{aligned}$$

なので、 $u(x,y)$ は調和関数である。

(2)

(Eq.1) の複素関数における Cauchy-Riemann の関係式は

$$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \tag{a} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= - \frac{\partial v}{\partial x} \tag{b} \end{align}$$

である。

(3)

まず、($a$) より

$$\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial x} \\ &= e^x \cos y \\ \therefore \ \ v(x,y) &= e^x \sin y + g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ ( g(x) \text{ は } x \text{ の実数値関数 } ) \end{aligned}$$

であり、さらに ($b$) より、

$$\begin{aligned} - e^x \sin y &= - e^x \sin y - \frac{dg(x)}{dx} \\ \therefore \ \ \frac{dg(x)}{dx} &= 0 \\ \therefore \ \ g(x) &= C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{aligned}$$

を得る。 よって、求める正則関数は

$$\begin{aligned} f(z) &= e^x \cos y + i \left( e^x \sin y + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{aligned}$$

である。

問題 2

$C$ を正の向きにとると、

$$\begin{aligned} \int_C f(z) dz &= \int_C \frac{dz}{(z-(\sqrt{3}-i))(z-(-\sqrt{3}-i))} \\ &= 2 \pi i \lim_{z \to \sqrt{3}-i} \frac{1}{z-(-\sqrt{3}-i)} \\ &= \frac{\pi i}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \left| \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 - 2 \sqrt{3} \\ &\lt 2 \\ \left| - \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( - \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( - \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 + 2 \sqrt{3} \\ &\gt 2 \end{aligned}$$

であるから、 $f(z)$ の極 $z=\sqrt{3}-i$ は $C$ の内部にあり、 $f(z)$ の極 $z=-\sqrt{3}-i$ は $C$ の外部にあることを使った。