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九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2022年8月実施 ② 関数論

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Author​

Miyake, 祭音Myyura

Description​

題意の要約。z=x+iyz=x+iy（x,y∈Rx,y\in\mathbb R）とする。

問題 1​

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) に対し、次を求める。

  1. u(x,y)=excos⁡yu(x,y)=e^x\cos y が調和関数であることを示す。
  2. ff の Cauchy–Riemann の関係式を書く。
  3. (1) の uu を実部とする正則関数を求める。

問題 2​

円 C:∣z−1∣=2C:|z-1|=\sqrt2 を正の向きに一周するとき、∫Cdzz2+2iz−4\displaystyle\int_C\frac{dz}{z^2+2iz-4} を求める。

出典：九州大学 令和5年度 船舶海洋工学専攻。

题目描述​

问题 1：设

u(x,y)=excos⁡y.u(x,y)=e^x\cos y.
  1. 证明 uu 是调和函数。
  2. 写出复函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 满足的柯西–黎曼方程。
  3. 求以 uu 为实部的全部全纯函数 ff。

问题 2：设 CC 为沿正方向（逆时针）绕行一周的圆

∣z−1∣=2,|z-1|=\sqrt2,

计算

∫Cdzz2+2iz−4.\int_C\frac{dz}{z^2+2iz-4}.

Kai​

問題 1​

(1)​

∂2u∂x2+∂2u∂y2=excos⁡y−excos⁡y=0\begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} &= e^x \cos y - e^x \cos y \\ &= 0 \end{aligned}

なので、 u(x,y)u(x,y) は調和関数である。

(2)​

(Eq.1) の複素関数における Cauchy-Riemann の関係式は

∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \tag{a} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= - \frac{\partial v}{\partial x} \tag{b} \end{align}

である。

(3)​

まず、(aa) より

∂v∂y=∂u∂x=excos⁡y∴  v(x,y)=exsin⁡y+g(x)        (g(x) は x の実数値関数 )\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial x} \\ &= e^x \cos y \\ \therefore \ \ v(x,y) &= e^x \sin y + g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ ( g(x) \text{ は } x \text{ の実数値関数 } ) \end{aligned}

であり、さらに (bb) より、

−exsin⁡y=−exsin⁡y−dg(x)dx∴  dg(x)dx=0∴  g(x)=C        (C は実数定数)\begin{aligned} - e^x \sin y &= - e^x \sin y - \frac{dg(x)}{dx} \\ \therefore \ \ \frac{dg(x)}{dx} &= 0 \\ \therefore \ \ g(x) &= C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{aligned}

を得る。 よって、求める正則関数は

f(z)=excos⁡y+i(exsin⁡y+C)        (C は実数定数)\begin{aligned} f(z) &= e^x \cos y + i \left( e^x \sin y + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{aligned}

である。

問題 2​

CC を正の向きにとると、

∫Cf(z)dz=∫Cdz(z−(3−i))(z−(−3−i))=2πilim⁡z→3−i1z−(−3−i)=πi3\begin{aligned} \int_C f(z) dz &= \int_C \frac{dz}{(z-(\sqrt{3}-i))(z-(-\sqrt{3}-i))} \\ &= 2 \pi i \lim_{z \to \sqrt{3}-i} \frac{1}{z-(-\sqrt{3}-i)} \\ &= \frac{\pi i}{\sqrt{3}} \end{aligned}

ここで、

∣3−i−1∣2=(3−1−i)(3−1+i)=5−23<2∣−3−i−1∣2=(−3−1−i)(−3−1+i)=5+23>2\begin{aligned} \left| \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 - 2 \sqrt{3} \\ &\lt 2 \\ \left| - \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( - \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( - \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 + 2 \sqrt{3} \\ &\gt 2 \end{aligned}

であるから、 f(z)f(z) の極 z=3−iz=\sqrt{3}-i は CC の内部にあり、 f(z)f(z) の極 z=−3−iz=-\sqrt{3}-i は CC の外部にあることを使った。

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