九州大学 工学府 船舶海洋工学専攻 2022年8月実施 ① 微分方程式

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Author

Miyake

Description

問題 1

以下の微分方程式を解け。

$$y' + y = x$$

ただし初期条件 $y(0)=1$

問題 2

以下の微分方程式を解け。

$$y'' - y' + 2y = 0$$

問題 3

以下の微分方程式を解け。

$$y'' + 3y' + 2y = e^{-x}$$

题目描述

求解下列三个微分方程：

1. 一阶初值问题
   $$y'+y=x,\qquad y(0)=1.$$
2. 二阶齐次方程
   $$y''-y'+2y=0.$$
3. 二阶非齐次方程
   $$y''+3y'+2y=e^{-x}.$$

考点

• 一阶线性微分方程初值问题：用积分因子或齐次解加特解求通解，再由 $y(0)=1$ 定常数。
• 二阶常系数齐次方程：根据特征方程的共轭复根写出实通解。
• 待定系数法与共振：注意右端 $e^{-x}$ 对应齐次特征根，选取乘以 $x$ 的指数型试探特解。

Kai

問題 1

まず、 $y'+y=0$ の一般解は

$$\begin{aligned} y = C e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。 次に、与えられた微分方程式に $y = Ax+B$ ( $A,B$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、 $Ax+(A+B)=x$ したがって $A=1,B=-1$ を得るので、

$$\begin{aligned} y = x - 1 \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = C e^{-x} + x - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。 与えられた初期条件を満たすのは $C=2$ のときであるから、求める特殊解は

$$\begin{aligned} y = 2 e^{-x} + x - 1 \end{aligned}$$

である。

問題 2

与えられた微分方程式に $y = e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - \lambda + 2 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{aligned}$$

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = e^\frac{x}{2} \left( A \sin \frac{\sqrt{7}}{2} x + B \cos \frac{\sqrt{7}}{2} x \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

問題 3

まず、 $y''+3y'+2y=0$ に $y = e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると

$$\begin{aligned} \lambda^2 + 3 \lambda + 2 &= 0 \\ (\lambda - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, -2 \end{aligned}$$

を得るので、この微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = A e^{-x} + B e^{-2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。 次に、与えられた微分方程式に $y = Cxe^{-x}$ ( $C$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、 $C=1$ を得るので、

$$\begin{aligned} y = x e^{-x} \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} y = A e^{-x} + B e^{-2x} + x e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。