九州大学 工学府 機械系専攻 2023年8月実施 数学 問4

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• 最小二乘解与最小范数解

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

(1)

$m$ 個の点 $(x_k,y_k)$ を二次多項式

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$$

で最小二乗近似する。

$$F=\sum_{k=1}^m\{y_k-f(x_k)\}^2,\qquad \boldsymbol a=\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b= \begin{pmatrix} \sum y_k\\ \sum y_kx_k\\ \sum y_kx_k^2 \end{pmatrix}$$

とする。$\partial F/\partial a_0=\partial F/\partial a_1=\partial F/\partial a_2=0$ を $M\boldsymbol a=\boldsymbol b$ と表すとき、$M$ を求めよ。

(2)

点 $A(-1,1),B(0,3),C(1,6),D(2,0)$ について、次の問に答えよ。

1. (1) の行列は

   $$M=\begin{pmatrix}4&2&6\\2&6&8\\6&8&18\end{pmatrix}$$

   である。$M=LL^{\mathsf T}$ となる、全成分が非負の下三角行列 $L$ を求めよ。

2. 4 点を近似する二次多項式を求めよ。

Kai

(1)

$j=0,1,2$ に対して

$$\frac{\partial F}{\partial a_j} =-2\sum_{k=1}^m x_k^j \left(y_k-\sum_{i=0}^2a_ix_k^i\right)=0.$$

したがって

$$\boxed{ M= \begin{pmatrix} m&\sum x_k&\sum x_k^2\\ \sum x_k&\sum x_k^2&\sum x_k^3\\ \sum x_k^2&\sum x_k^3&\sum x_k^4 \end{pmatrix}}.$$

(2)

(2-1)

対角成分を正に取ると

$$\boxed{ L=\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&\sqrt5&0\\ 3&\sqrt5&2 \end{pmatrix}}$$

であり、実際に $LL^{\mathsf T}=M$ となる。

(2-2)

$$\boldsymbol b= \begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}.$$

$L\boldsymbol z=\boldsymbol b$、$L^{\mathsf T}\boldsymbol a=\boldsymbol z$ の順に解くと

$$\boldsymbol z= \begin{pmatrix}5\\0\\-4\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol a= \begin{pmatrix}9/2\\2\\-2\end{pmatrix}.$$

よって

$$\boxed{f(x)=\frac92+2x-2x^2}.$$

Reference

• 九州大学 機械系専攻 過去の入試問題
• 2024年度 数学 公式問題 PDF