九州大学 工学府 機械系専攻 2021年8月実施 数学 問1

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Author

Miyake

Description

次の行列 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ について，以下の問いに答えよ．ただし $x$ は実数とする．

$$A=\begin{pmatrix}x&1&0\\1&x&1\\0&1&x\end{pmatrix}.$$

(1) $T^{\top} A T$ が対角行列となる直交行列 $T \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ を求めよ．

(2) 任意のベクトル $y \in \mathbb{R}^3$ について，$y^{\top} A y \ge 0$ となるための $x$ の範囲を求めよ．

(3) (2) で求めた $x$ の範囲を満たす最小値を $x$ に代入した行列 $A$ を $A_m$ とするとき，行列 $\{A_m\}^6 \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ を求めよ.

出典：九州大学 令和4年度 機械系専攻 数学。

题目描述

对下列实对称矩阵

$$A=\begin{pmatrix} x&1&0\\ 1&x&1\\ 0&1&x \end{pmatrix}\in\mathbb R^{3\times3},$$

其中 $x$ 为实数，回答：

1. 求一个正交矩阵 $T\in\mathbb R^{3\times3}$，使 $T^\top AT$ 为对角矩阵。
2. 求使任意 $y\in\mathbb R^3$ 均满足 $y^\top Ay\ge0$ 的 $x$ 的取值范围。
3. 把第 2 问范围内的最小 $x$ 代入 $A$，所得矩阵记为 $A_m$，求 $A_m^6$。

Kai

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} x - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & x - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & x - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (x - \lambda)^3 - 2(x - \lambda) \\ &= - (\lambda - x) (\lambda - (x - \sqrt{2})) (\lambda - (x + \sqrt{2})) \\ \therefore \ \ \lambda &= x , x \pm \sqrt{2} \end{aligned}$$

である。

固有値 $x$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $u+w=0, v=0$ を得る。

固有値 $x-\sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $u=w, v=-\sqrt{2}u$ を得る。

固有値 $x+\sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $u=w, v=\sqrt{2}u$ を得る。

よって、

$$\begin{aligned} T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} T^\mathrm{T} A T = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x-\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & x+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

が成り立つ。

(2)

任意の $y \in \mathbb{R}^3$ について $y^\mathrm{T} A y \geq 0$ が成り立つための必要十分条件は、 $A$ の固有値がすべて $0$ 以上であることである。 よって、求める範囲は $x - \sqrt{2} \geq 0$ すなわち $x \geq \sqrt{2}$ である。

(3)

$$\begin{aligned} A_m &= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \left\{ A_m \right\}^6 &= T \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \sqrt{2} \end{pmatrix}^6 T^\mathrm{T} \\ &= T \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 512 \end{pmatrix} T^\mathrm{T} \\ &= \begin{pmatrix} 132 & 128 \sqrt{2} & 124 \\ 128 \sqrt{2} & 256 & 128 \sqrt{2} \\ 124 & 128 \sqrt{2} & 132 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。