九州大学 工学府 機械系専攻 2021年8月実施 数学 問1

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Miyake

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次の行列 について，以下の問いに答えよ．ただし は実数とする．

(1) が対角行列となる直交行列 を求めよ．

(2) 任意のベクトル について， となるための の範囲を求めよ．

(3) (2) で求めた の範囲を満たす最小値を に代入した行列 を とするとき，行列 を求めよ.

Kai

(1)

の固有値を とすると、

である。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。

固有値 に属する固有ベクトルを求めるため

とおくと、 を得る。

よって、

とおくと、

が成り立つ。

(2)

任意の について が成り立つための必要十分条件は、 の固有値がすべて 以上であることである。 よって、求める範囲は すなわち である。

(3)

であり、

である。