九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 熱工学 問3

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• 九州大学
• 热泵与制冷
• 不可逆过程

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図3.1の $p$–$h$ 線図上に示されている蒸気圧縮式の理論冷凍サイクルがある。状態1から2では冷媒は外部から $l_C$ だけ仕事をされ，状態2から3では $q_H$ だけ放熱し，状態4から1では $q_L$ だけ受熱する。表3.1は冷媒の飽和蒸気表である。次の問いに答えよ。（40点）

表3.1 冷媒の飽和蒸気表

温度	圧力	比エンタルピー	比エントロピー
$T_H$	$p_H$	$h_H',h_H''$	$s_H',s_H''$
$T_L$	$p_L$	$h_L',h_L''$	$s_L',s_L''$

注：表内の「′」は飽和液，「″」は乾き飽和蒸気を意味する。

(1) リストから用語を選び，カッコ内に記号ア～シを入れて，冷凍サイクルの説明文を完成させよ。なお，同じ記号を複数回使っても良い。

説明文：

状態1における冷媒の状態は（①）である。

次の状態2までの過程は（②）で進み，冷媒は圧縮機により仕事 $l_C$ を受けて（③）となる。

次の状態3に至る過程は（④）で進み，冷媒は（⑤）により $q_H$ 放熱して（⑥）となる。

その後，状態4に至る過程では膨張弁により（⑦）で進み，冷媒は（⑧）となる。

次の状態1までの過程は（⑨）で進み，冷媒は（⑩）によって $q_L$ 受熱して（⑪）になる。

リスト：

記号	用語	記号	用語
ア	蒸発器	イ	凝縮器
ウ	膨張弁	エ	圧縮機
オ	飽和液	カ	圧縮液
キ	過熱蒸気	ク	湿り蒸気
ケ	乾き飽和蒸気	コ	等エンタルピー変化
サ	等エントロピー変化	シ	等圧変化

(2) 状態4の乾き度 $x_4$ を表3.1の記号を使って表せ。

(3) 図3.2の $T$–$s$ 線図上にこのサイクルを描け。なお状態1，4は予め与えている。

(4) 表3.1の記号，および $l_C,x_4$ を使って状態1，2，3，4の比エンタルピー，比エントロピーを求め，次の表にまとめて示せ。

状態	1	2	3	4
$h$
$s$

(5) ヒートポンプ，冷凍機としての成績係数 $\varepsilon_{HP}$ 及び $\varepsilon_R$ を，各状態の比エンタルピー $h_1,h_2,h_3,h_4$ を使ってそれぞれ示せ。

(6) 圧縮機の断熱効率 $\eta_C$ が $0<\eta_C<1$ となり不可逆過程となった。この時の冷凍機としての成績係数を $\varepsilon_R^*$ とする。$\varepsilon_R^*<\varepsilon_R$ となることを証明せよ。

题目描述

图3.1的 $p$–$h$ 图给出一个蒸汽压缩式理论制冷循环。状态1→2中冷媒接受外界所做的功 $l_C$，2→3中放出热量 $q_H$，4→1中吸收热量 $q_L$。表3.1为冷媒的饱和蒸汽表。回答下列问题。（40分）

表3.1 冷媒饱和蒸汽表

温度	压力	比焓	比熵
$T_H$	$p_H$	$h_H',h_H''$	$s_H',s_H''$
$T_L$	$p_L$	$h_L',h_L''$	$s_L',s_L''$

注：′表示饱和液体，″表示干饱和蒸汽。

(1) 从词语列表中选择，在括号内填入ア～シ，完成制冷循环的说明。同一选项可以重复使用。

状态1的冷媒状态为（①）。

到下一状态2的过程为（②），冷媒接受压缩机所做的功 $l_C$，变成（③）。

到下一状态3的过程为（④），冷媒通过（⑤）放热 $q_H$，变成（⑥）。

之后到状态4的过程，通过膨胀阀按（⑦）进行，冷媒变成（⑧）。

回到状态1的过程为（⑨），冷媒通过（⑩）吸热 $q_L$，变成（⑪）。

选项	词语	选项	词语
ア	蒸发器	イ	冷凝器
ウ	膨胀阀	エ	压缩机
オ	饱和液体	カ	压缩液体
キ	过热蒸汽	ク	湿蒸汽
ケ	干饱和蒸汽	コ	等焓变化
サ	等熵变化	シ	等压变化

(2) 用表3.1中的符号表示状态4的干度 $x_4$。

(3) 在图3.2的 $T$–$s$ 图中画出该循环，状态1、4已给出。

(4) 使用表3.1中的符号及 $l_C,x_4$，求各状态的比焓、比熵，并填入下表。

状态	1	2	3	4
$h$
$s$

(5) 用各状态的比焓 $h_1,h_2,h_3,h_4$，分别表示热泵性能系数 $\varepsilon_{HP}$ 和制冷机性能系数 $\varepsilon_R$。

(6) 压缩机绝热效率变为 $0<\eta_C<1$，过程成为不可逆过程。将此时的制冷机性能系数记为 $\varepsilon_R^*$，证明 $\varepsilon_R^*<\varepsilon_R$。

Kai

(1)

① ケ、② サ、③ キ、④ シ、⑤ イ、⑥ オ、⑦ コ、⑧ ク、⑨ シ、⑩ ア、⑪ ケ。

理論圧縮は可逆断熱なので等エントロピー。膨張弁は断熱・軸仕事なしの絞りで、定常流のエネルギー式から $h_4=h_3$ となる。

(2)

$$h_4=h_3=h_H'=h_L'+x_4(h_L''-h_L')$$

より

$$\boxed{x_4=\frac{h_H'-h_L'}{h_L''-h_L'}}.$$

(3)

$1\to2$ は鉛直上向き。$2\to3$ は高圧等圧線に沿って過熱域を下り、$T_H$ で水平に飽和液線に至る。$3\to4$ は不可逆絞りを示す破線で結び、$4\to1$ は $T_L$ の水平線である。

(4)

状態	比エンタルピー $h$	比エントロピー $s$
1	$h_L''$	$s_L''$
2	$h_L''+l_C$	$s_L''$
3	$h_H'$	$s_H'$
4	$h_H'$	$s_L'+x_4(s_L''-s_L')$

状態 2 では $h_2-h_1=l_C$、状態 4 では液・蒸気の質量比による混合則を用いた。

(5)

$l_C=h_2-h_1$、$q_H=h_2-h_3$、$q_L=h_1-h_4$ より

$$\boxed{\varepsilon_{HP}=\frac{h_2-h_3}{h_2-h_1},\qquad \varepsilon_R=\frac{h_1-h_4}{h_2-h_1}}.$$

$h_3=h_4$ なので $\varepsilon_{HP}=\varepsilon_R+1$。

(6)

実際の圧縮機出口の比エンタルピーを $h_2^*$ とすると

$$\eta_C=\frac{h_2-h_1}{h_2^*-h_1},\qquad h_2^*-h_1=\frac{h_2-h_1}{\eta_C}.$$

両圧力を維持し、蒸発器出口を乾き飽和蒸気、凝縮器出口を飽和液とする条件は変わらないので、$h_1,h_3,h_4$ と冷凍効果 $q_L$ は不変。したがって

$$\boxed{\varepsilon_R^*=\frac{h_1-h_4}{(h_2-h_1)/\eta_C} =\eta_C\varepsilon_R<\varepsilon_R}.$$

Reference

• 九州大学 2020年度 熱工学 公式問題（PDF 3ページ）