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九州大学 工学府 機械系専攻 2020年度 熱工学 問1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

ピストンをもつ往復動式一段圧縮機の圧力比の上限を考える。状態・過程を次のように定める。

  • 1→21\to2：下死点の状態 1（圧力 p1p_1、体積 V1V_1）から気体を圧縮し、圧力 p2p_2 の状態 2 にする。
  • 2→32\to3：排気弁が開き、圧力・温度一定で排気する。上死点で弁が閉じ、すきま容積 V3V_3 に気体が残る。
  • 3→43\to4：残った気体が吸気圧力 p4=p1p_4=p_1 に達するまで膨張する。
  • 4→14\to1：吸気弁が開き、圧力・温度一定で吸気して下死点に至る。

各過程でピストンが気体になす仕事を L12,L23,L34,L41L_{12},L_{23},L_{34},L_{41} とする。圧力比 γ=p2/p1\gamma=p_2/p_1、行程容積 VS=V1−V3V_S=V_1-V_3、すきま比 σ=V3/VS\sigma=V_3/V_S、容積効率 η=(V1−V4)/VS\eta=(V_1-V_4)/V_S を定義する。作動流体は比熱比 κ\kappa が一定の理想気体。各過程は準静的で、ピストンの摩擦は無視する。

  1. すきま容積のない理想圧縮機を考える。体積ゼロの状態 3′3' まで等圧排気し、体積ゼロの状態 4′4' から等圧吸気する。4′→1→2→3′4'\to1\to2\to3' の正味の仕事 L′L' を p1,V1,κ,γp_1,V_1,\kappa,\gamma で表せ。圧縮は断熱とする。
  2. すきま容積がある場合、1→2→3→4→11\to2\to3\to4\to1 の正味の仕事 LL を p1,VS,κ,γ,ηp_1,V_S,\kappa,\gamma,\eta で表せ。圧縮・膨張は断熱とする。
  3. p1p_1 一定で p2p_2 を増加させると、吸気できる体積は減少する。η\eta を κ,γ,σ\kappa,\gamma,\sigma で表して説明せよ。
  4. 外部から吸気できなくなる圧力比 γ\gamma を κ,σ\kappa,\sigma で表せ。それ以上の圧力比を得る方法を文章で述べよ。

题目描述​

往复式单级压缩机依次经历：1→2 从下止点压缩至排气压力；2→3 恒压、恒温排气至上止点，余隙容积为 V3V_3；3→4 余隙气体膨胀至吸气压力；4→1 恒压、恒温吸气。定义压比 γ=p2/p1\gamma=p_2/p_1、行程容积 VS=V1−V3V_S=V_1-V_3、余隙比 σ=V3/VS\sigma=V_3/V_S、容积效率 η=(V1−V4)/VS\eta=(V_1-V_4)/V_S。气体理想、比热比 κ\kappa 恒定，过程准静态、无活塞摩擦。① 无余隙时，压缩绝热，求包含吸排气的净输入功。② 有余隙且压缩、膨胀绝热时，用指定参数求净输入功。③ 推导容积效率与压比的关系。④ 求无法再吸气时的极限压比，并说明提高总压比的方法。

Kai​

(1)​

気体への仕事を正とするので Lab=−∫abp dVL_{ab}=-\int_a^b p\,dV。断熱関係から V2=V1γ−1/κV_2=V_1\gamma^{-1/\kappa} であり、

L′=−p1V1+p2V2−p1V1κ−1+p2V2.L'=-p_1V_1+\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\kappa-1}+p_2V_2.

したがって

L′=κκ−1p1V1(γ(κ−1)/κ−1).\boxed{L'=\frac{\kappa}{\kappa-1}p_1V_1 \left(\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right)}.

(2)​

四過程の仕事は

L12=p2V2−p1V1κ−1,L23=p2(V2−V3),L34=p1V4−p2V3κ−1,L41=−p1(V1−V4).L_{12}=\frac{p_2V_2-p_1V_1}{\kappa-1},\quad L_{23}=p_2(V_2-V_3),\quad L_{34}=\frac{p_1V_4-p_2V_3}{\kappa-1},\quad L_{41}=-p_1(V_1-V_4).

p2V2=p1V1γ(κ−1)/κp_2V_2=p_1V_1\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}、p2V3=p1V4γ(κ−1)/κp_2V_3=p_1V_4\gamma^{(\kappa-1)/\kappa} を用いて和を取ると

L=κκ−1ηp1VS(γ(κ−1)/κ−1).\boxed{L=\frac{\kappa}{\kappa-1}\eta p_1V_S \left(\gamma^{(\kappa-1)/\kappa}-1\right)}.

この圧縮機の pp–VV サイクルは、横軸を VV、縦軸を pp とすると反時計回りで、−∮p dV>0-\oint p\,dV>0 である。

(3)​

V1=(1+σ)VSV_1=(1+\sigma)V_S、V4=V3γ1/κ=σVSγ1/κV_4=V_3\gamma^{1/\kappa}=\sigma V_S\gamma^{1/\kappa} より

η=1+σ−σγ1/κ.\boxed{\eta=1+\sigma-\sigma\gamma^{1/\kappa}}.

σ>0\sigma>0 なら ∂η/∂γ=−(σ/κ)γ1/κ−1<0\partial\eta/\partial\gamma=-(\sigma/\kappa)\gamma^{1/\kappa-1}<0。圧力比が増すと余隙気体がより大きな体積まで再膨張し、新しく吸い込める体積が減る。

(4)​

V4=V1V_4=V_1、すなわち η=0\eta=0 が限界条件なので

γmax⁡=(1+1σ)κ.\boxed{\gamma_{\max}=\left(1+\frac1\sigma\right)^\kappa}.

より大きい総圧力比には多段圧縮を用い、各段の圧力比をその段の限界以下にする。例えば nn 段に等しく分担すれば、一段の圧力比は総圧力比の 1/n1/n 乗となる。段間冷却を加えると次段の吸入温度を低下させ、圧縮仕事と吐出温度を抑えられる。余隙比 σ\sigma 自体を小さくすることも限界の改善につながる。

Reference​

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