九州大学工学府機械系専攻 2019年8月実施数学問4

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

3回の測定によって、 $X$ と $Y$ という2つのスカラー量の組からなるデータ

\begin{gathered} (X_i,Y_i)=(0,1),(1,2),(2,5)\\ (i=1,2,3) \end{gathered}

が得られたとする。 $X$ と $Y$ との関係を説明するため、 $X$ の多項式 $f(X)$ で表される

Y=f(X)

というモデルを導入し、モデルとデータとの差の二乗和 $S$ を以下に定義する。

S=\sum_{i=1}^N\bigl(f(X_i)-Y_i\bigr)^2.

ここで $N$ はデータ点数を表す。（50点）

(1) モデル $Y=f_1(X)$ を以下の式で与えたとき、 $S$ を最小とする係数 $a,b$ を求めよ。

f_1(X)=aX+b.

(2) モデル $Y=f_2(X)$ を以下の式で与えたとき、 $S$ を最小とする係数 $c,d$ を求めよ。

f_2(X)=cX^2+d.

(3) (1)および(2)で与えられた2つのモデルのうち、どちらのモデルがより優れているか答えよ。ここで優れたモデルとは、上記のデータによる $S$ の最小値が小さなモデルを意味する。また、データ点と2つのモデルの概形をグラフにまとめて図示せよ。

通过3次测量，获得由两个标量 $X,Y$ 组成的数据

\begin{gathered} (X_i,Y_i)=(0,1),(1,2),(2,5)\\ (i=1,2,3) \end{gathered}.

为了说明 $X$ 与 $Y$ 的关系，引入由 $X$ 的多项式 $f(X)$ 表示的模型

Y=f(X),

并将模型与数据之间的差的平方和定义为

S=\sum_{i=1}^N\bigl(f(X_i)-Y_i\bigr)^2.

其中 $N$ 表示数据点数。（50分）

(1) 以如下式子给出模型 $Y=f_1(X)$ ，求使 $S$ 最小的系数 $a,b$ 。

f_1(X)=aX+b.

(2) 以如下式子给出模型 $Y=f_2(X)$ ，求使 $S$ 最小的系数 $c,d$ 。

f_2(X)=cX^2+d.

(3) 回答(1)、(2)给出的两个模型中哪一个更好。这里“更好”是指对于上述数据， $S$ 的最小值较小。另外，将数据点和两个模型的大致图形画在同一张图中。

S=(b-1)^2+(a+b-2)^2+(2a+b-5)^2.

正規方程式は

5a+3b=12,\qquad3a+3b=8.

係数行列は正定値（主座小行列式 $5,6>0$ ）なので、この停留点が一意な最小点である。

\boxed{a=2,\quad b=\frac23,\quad S_{1,\min}=\frac23}.

$c=d=1$ なら全データ点を通り $S=0$ 。二乗和の下限 $0$ を達成するため

\boxed{c=1,\quad d=1,\quad S_{2,\min}=0}.

$0<2/3$ より、指定された基準では $\boxed{f_2(X)=X^2+1}$ の方が優れている。

データ点と二つの最小二乗モデル