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九州大学 工学府 機械系専攻 2020年度 数学 問3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

x2+y2≤4x^2+y^2\le4 を満たす領域を DD とする。

  1. D1={(x,y)∈D:x≥1}D_1=\{(x,y)\in D:x\ge1\} とするとき、∬D1x dx dy\iint_{D_1}x\,dx\,dy を計算せよ。

  2. D2={(x,y)∈D:x≥0,y≥0}D_2=\{(x,y)\in D:x\ge0,y\ge0\} とするとき、∬D2(x+y) dx dy\iint_{D_2}(x+y)\,dx\,dy を計算せよ。

  3. DD の境界を C1C_1 とするとき、次を計算せよ。

    ∮C1{(x+y2) dx−(x2−y) dy}.\oint_{C_1}\{(x+y^2)\,dx-(x^2-y)\,dy\}.

  4. z=4−x2−y2z=4-x^2-y^2 と x+y+z=1x+y+z=1 との切断面の境界を C2C_2 とするとき、次を計算せよ。

    ∮C2{(z2−y2) dx+(x2−z2) dy+(y2−x2) dz}.\oint_{C_2}\{(z^2-y^2)\,dx+(x^2-z^2)\,dy+(y^2-x^2)\,dz\}.

题目描述​

设 D:x2+y2≤4D:x^2+y^2\le4。① 在 DD 中 x≥1x\ge1 的部分积分 xx。② 在 DD 的第一象限部分积分 x+yx+y。③ 沿 DD 的边界计算 ∮[(x+y2)dx−(x2−y)dy]\oint[(x+y^2)dx-(x^2-y)dy]。④ 沿抛物面 z=4−x2−y2z=4-x^2-y^2 与平面 x+y+z=1x+y+z=1 的交线计算 ∮[(z2−y2)dx+(x2−z2)dy+(y2−x2)dz]\oint[(z^2-y^2)dx+(x^2-z^2)dy+(y^2-x^2)dz]。原题未指定边界方向，第四问需要说明方向约定。

Kai​

(1)​

∬D1x dx dy=2∫12x4−x2 dx=[−23(4−x2)3/2]12=23.\iint_{D_1}x\,dx\,dy=2\int_1^2x\sqrt{4-x^2}\,dx =\left[-\frac23(4-x^2)^{3/2}\right]_1^2 =\boxed{2\sqrt3}.

(2)​

極座標 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx=r\cos\theta,y=r\sin\theta より

∫0π/2∫02r2(cos⁡θ+sin⁡θ) dr dθ=83⋅2=163.\int_0^{\pi/2}\int_0^2r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta =\frac83\cdot2=\boxed{\frac{16}{3}}.

(3)​

反時計回りに Green の定理を適用すると

∮C1{(x+y2) dx−(x2−y) dy}=∬D(−2x−2y) dx dy=0.\oint_{C_1}\{(x+y^2)\,dx-(x^2-y)\,dy\} =\iint_D(-2x-2y)\,dx\,dy=\boxed0.

原点対称性を用いた。逆向きでも値は 00 である。

(4)​

法線を n=(1,1,1)/3\boldsymbol n=(1,1,1)/\sqrt3 とし、それに対する右ねじの向きに C2C_2 を回るものとする。

F=(z2−y2,x2−z2,y2−x2),∇×F=2(y+z,z+x,x+y).\boldsymbol F=(z^2-y^2,x^2-z^2,y^2-x^2),\qquad \nabla\times\boldsymbol F=2(y+z,z+x,x+y).

平面上では (∇×F)⋅n=4/3(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n=4/\sqrt3。切断面の xyxy 平面への射影は

(x−12)2+(y−12)2≤72(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2\le\frac72

なので、面積は 3(7π/2)\sqrt3(7\pi/2)。Stokes の定理により

∮C2F⋅dr=14π.\boxed{\oint_{C_2}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=14\pi}.

原題には向きの指定がない。逆向きを採用すると −14π-14\pi となる。

Reference​

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