九州大学工学府機械系専攻 2019年8月実施数学問3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$x^2+y^2\le4$ を満たす領域を $D$ とする。以下の問いに答えよ。（50点）

(1) 領域 $D$ において、 $x\ge1$ を満たす領域を $D_1$ とするとき、以下を計算せよ。

\iint_{D_1}x\,dx\,dy.

(2) 領域 $D$ において、 $x\ge0,\ y\ge0$ の領域を $D_2$ とするとき、以下を計算せよ。

\iint_{D_2}(x+y)\,dx\,dy.

(3) 領域 $D$ の境界を $C_1$ とするとき、以下を計算せよ。

\oint_{C_1}\{(x+y^2)\,dx-(x^2-y)\,dy\}.

(4) $z=4-x^2-y^2$ と $x+y+z=1$ の切断面の境界を $C_2$ とするとき、以下を計算せよ。

\oint_{C_2}\Bigl\{\begin{aligned} &(z^2-y^2)\,dx+(x^2-z^2)\,dy\\ &\qquad{}+(y^2-x^2)\,dz \end{aligned}\Bigr\}.

将满足 $x^2+y^2\le4$ 的区域记为 $D$ ，回答以下各问。（50分）

(1) 将区域 $D$ 中满足 $x\ge1$ 的部分记为 $D_1$ ，计算下列积分。

\iint_{D_1}x\,dx\,dy.

(2) 将区域 $D$ 中满足 $x\ge0,\ y\ge0$ 的部分记为 $D_2$ ，计算下列积分。

\iint_{D_2}(x+y)\,dx\,dy.

(3) 将区域 $D$ 的边界记为 $C_1$ ，计算下列积分。

\oint_{C_1}\{(x+y^2)\,dx-(x^2-y)\,dy\}.

(4) 将 $z=4-x^2-y^2$ 与 $x+y+z=1$ 的截面边界记为 $C_2$ ，计算下列积分。

\oint_{C_2}\Bigl\{\begin{aligned} &(z^2-y^2)\,dx+(x^2-z^2)\,dy\\ &\qquad{}+(y^2-x^2)\,dz \end{aligned}\Bigr\}.

\begin{gathered} \iint_{D_1}x\,dx\,dy=2\int_1^2x\sqrt{4-x^2}\,dx\\ =\left[-\frac23(4-x^2)^{3/2}\right]_1^2\\ =\boxed{2\sqrt3}. \end{gathered}

極座標 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ より

\begin{gathered} \int_0^{\pi/2}\int_0^2r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta =\frac83\cdot2\\ =\boxed{\frac{16}{3}}. \end{gathered}

反時計回りに Green の定理を適用すると

\begin{gathered} \oint_{C_1}\{(x+y^2)\,dx-(x^2-y)\,dy\} =\iint_D(-2x-2y)\,dx\,dy\\ =\boxed0. \end{gathered}

原点対称性を用いた。逆向きでも値は $0$ である。

法線を $\boldsymbol n=(1,1,1)/\sqrt3$ とし、それに対する右ねじの向きに $C_2$ を回るものとする。

\begin{gathered} \boldsymbol F=(z^2-y^2,x^2-z^2,y^2-x^2),\\ \nabla\times\boldsymbol F=2(y+z,z+x,x+y). \end{gathered}

平面上では $(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n=4/\sqrt3$ 。切断面の $xy$ 平面への射影は

(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2\le\frac72

なので、面積は $\sqrt3(7\pi/2)$ 。Stokes の定理により

\boxed{\oint_{C_2}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=14\pi}.

原題には向きの指定がない。逆向きを採用すると $-14\pi$ となる。