九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 数学 問2

标签：

• 九州大学
• 可分离变量的常微分方程
• 一阶齐次常微分方程
• 二阶线性常微分方程

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

以下に示す微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。（50点）

(1)

$$\frac{dy(x)}{dx} =\frac{y(x)^3-3y(x)^2+2y(x)}{x\bigl(3y(x)^2-6y(x)+2\bigr)}.$$

(2)

$$\frac{dy(x)}{dx} =\frac{y(x)^2+2xy(x)}{x^2+xy(x)}.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}+y(x)=\cos x+\sin x.$$

题目描述

分别求下列微分方程的通解。（50分）

(1)

$$\frac{dy(x)}{dx} =\frac{y(x)^3-3y(x)^2+2y(x)}{x\bigl(3y(x)^2-6y(x)+2\bigr)}.$$

(2)

$$\frac{dy(x)}{dx} =\frac{y(x)^2+2xy(x)}{x^2+xy(x)}.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}+y(x)=\cos x+\sin x.$$

Kai

(1)

$N(y)=y(y-1)(y-2)$ とおくと、$N'(y)=3y^2-6y+2$ である。$N(y)\ne0$ の区間では

$$\begin{gathered} \frac{N'(y)}{N(y)}\,dy=\frac{dx}{x},\\ \log|N(y)|=\log|x|+C_0. \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{y(y-1)(y-2)=Cx}.$$

$C=0$ は定数解 $y=0,1,2$ を含む。元の式が定義される $x\ne0$、$3y^2-6y+2\ne0$ の区間で解を取る。

(2)

$y=vx$ とおくと

$$v+xv'=\frac{v^2+2v}{1+v},\qquad xv'=\frac{v}{1+v}.$$

$v\ne0$ として積分すると $\log|v|+v=\log|x|+C_0$。よって

$$\boxed{y\exp(y/x)=Cx^2}.$$

$C=0$ は $y=0$ を含む。$x\ne0$、$x+y\ne0$ の区間に限る。

(3)

同次解は $C_1\cos x+C_2\sin x$。共振を考慮して特解を $x(A\cos x+B\sin x)$ とおけば

$$y_p''+y_p=-2A\sin x+2B\cos x.$$

したがって $A=-1/2,B=1/2$ であり、

$$\boxed{y=\left(C_1-\frac x2\right)\cos x+\left(C_2+\frac x2\right)\sin x}.$$

Reference

• 九州大学 2020年度 数学 公式問題（PDF 1ページ）