九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 数学 問1

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• 九州大学
• 二次型
• 对称矩阵的正交对角化

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$xy$ 平面上の方程式

$$(a-1)(x^2+y^2)+4xy-1=0 \tag{*}$$

について、以下の問いに答えよ。ただし、$a$ は1以外の実数の定数とする。（50点）

(1) $\boldsymbol x=[x,y]^{\mathsf T}\in\mathbb R^2$ とする。対称行列 $A\in\mathbb R^{2\times2}$ を用いて与式(*)を $\boldsymbol x^{\mathsf T}A\boldsymbol x=1$ の形で表せ。ただし、行列 $A$ の要素を具体的に示すこと。

(2) (1)で求めた行列 $A$ の2つの固有値を $\lambda_l,\lambda_s$（$\lambda_l>\lambda_s$）とする。$\lambda_l=5$ であるとき、定数 $a$ およびもう一つの固有値 $\lambda_s$ をそれぞれ求めよ。

(3) (2)で求めた固有値 $\lambda_s$ についての大きさ1の固有ベクトルを $\boldsymbol p\in\mathbb R^2$、固有値 $\lambda_l=5$ についての大きさ1の固有ベクトルを $\boldsymbol q\in\mathbb R^2$ とする。行列 $P=[\boldsymbol p,\boldsymbol q]\in\mathbb R^{2\times2}$ を求めよ。

(4) いま、(3)で求めた行列 $P$ について、$\boldsymbol X=[X,Y]^{\mathsf T}\in\mathbb R^2$ とすると、$\boldsymbol x=P\boldsymbol X$ が成立している。

i) 与式(*)を $X,Y$ を用いて表せ。

ii) i)で求めた方程式が、$XY$ 平面上に描く図形を図示せよ。ただし、図形の形状を決める根拠となる値は図中で示すこと。

(5) 与式(*)が、$xy$ 平面上に描く図形を図示せよ。ただし、$a$ は(2)で求めた値とし、図形の形状を決める根拠となる値は図中で示すこと。

题目描述

对于 $xy$ 平面上的方程

$$(a-1)(x^2+y^2)+4xy-1=0, \tag{*}$$

回答以下各问，其中 $a$ 是不等于1的实常数。（50分）

(1) 设 $\boldsymbol x=[x,y]^{\mathsf T}\in\mathbb R^2$。用对称矩阵 $A\in\mathbb R^{2\times2}$ 将式(*)表示为 $\boldsymbol x^{\mathsf T}A\boldsymbol x=1$，并具体写出 $A$ 的元素。

(2) 将(1)所得矩阵 $A$ 的两个特征值记为 $\lambda_l,\lambda_s$，且 $\lambda_l>\lambda_s$。当 $\lambda_l=5$ 时，分别求常数 $a$ 和另一个特征值 $\lambda_s$。

(3) 设 $\boldsymbol p\in\mathbb R^2$ 为(2)所得特征值 $\lambda_s$ 对应的单位特征向量，$\boldsymbol q\in\mathbb R^2$ 为特征值 $\lambda_l=5$ 对应的单位特征向量。求矩阵 $P=[\boldsymbol p,\boldsymbol q]\in\mathbb R^{2\times2}$。

(4) 对于(3)所得的矩阵 $P$，令 $\boldsymbol X=[X,Y]^{\mathsf T}\in\mathbb R^2$，且满足 $\boldsymbol x=P\boldsymbol X$。

i) 用 $X,Y$ 表示式(*)。

ii) 画出i)所得方程在 $XY$ 平面上表示的图形，并在图中标出用于确定图形形状的数值。

(5) 取(2)所得的 $a$ 值，画出式(*)在 $xy$ 平面上表示的图形，并在图中标出用于确定图形形状的数值。

Kai

(1)

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}a-1&2\\2&a-1\end{pmatrix}}.$$

(2)

特性方程式は $(a-1-\lambda)^2-4=0$。よって $\lambda_l=a+1$、$\lambda_s=a-3$ であり、

$$\boxed{a=4,\qquad\lambda_s=1}.$$

(3)

$(A-I)\boldsymbol p=0$、$(A-5I)\boldsymbol q=0$ より、一例として

$$\begin{gathered} \boldsymbol p=\frac1{\sqrt2}\binom{-1}{1},\\ \boldsymbol q=\frac1{\sqrt2}\binom{1}{1},\\ \boxed{P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}. \end{gathered}$$

$P^{\mathsf T}P=I$、$P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(1,5)$ である。

(4)

i)

$$\begin{gathered} 1=\boldsymbol X^{\mathsf T}P^{\mathsf T}AP\boldsymbol X\\ \Longrightarrow\\ \boxed{X^2+5Y^2=1}. \end{gathered}$$

ii)

原点中心、$X$ 軸方向の半径 $1$、$Y$ 軸方向の半径 $1/\sqrt5$ の楕円である。

(5)

$\boldsymbol x=X\boldsymbol p+Y\boldsymbol q$ より、長軸は $y=-x$、短軸は $y=x$ に沿う。$P$ は直交行列なので半軸の長さは保存される。長軸端点は $\pm(-1,1)/\sqrt2$、短軸端点は $\pm(1,1)/\sqrt{10}$。座標軸との交点は $(\pm1/\sqrt3,0),(0,\pm1/\sqrt3)$ である。

Reference

• 九州大学 2020年度 数学 公式問題（PDF 1ページ）