九州大学 工学府 機械系専攻 2020年度 材料力学 問2

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• 九州大学
• 梁的挠度
• 欧拉–伯努利梁

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

長さ $6a$ の一様な弾性ばり AB（縦弾性係数 $E$、断面二次モーメント $I$）を、A でピン、B でローラにより単純支持する。A を $x=0$、B を $x=6a$ とし、$y$ 軸は鉛直下向きとする。$x=4a$ の点 C から鉛直下に延び、点 D で左へ曲がって点 F（$x=3a$）に至る剛体 CDF を、C でばりに溶接する。F に下向き集中荷重 $P$、ばりの $a\le x\le5a$ に一定の下向き分布荷重 $q$ を加える。ばりの断面寸法は $a$ に比べ十分小さく、ばりと剛体の自重を無視する。

1. $q=P/a$ として A、B の反力を求めよ。
2. $q=P/a$ として、ばり AB のせん断力線図（SFD）と曲げモーメント線図（BMD）を描け。
3. $P=0$ として分布荷重 $q$ のみを加えるとき、C の $y$ 方向変位を求めよ。

题目描述

均匀简支梁长 $6a$，A 为铰支座、B 为滚动支座，坐标从 A 向右，竖直向下为正。位于 $x=4a$ 的 C 点焊接一刚体，该刚体先向下延伸到 D，再向左延伸到 $x=3a$ 的 F；F 受向下集中力 $P$。梁在 $a\le x\le5a$ 受向下均布载荷 $q$，忽略自重和剪切变形。① 当 $q=P/a$ 时求两支反力。② 画此时的剪力图和弯矩图。③ 当 $P=0$、仅有均布载荷时，求 C 向下的挠度。

Kai

(1)

剛体 CDF は C に下向きの力 $P$ と反時計回りの偶力 $Pa$ を伝える。上向き反力を $R_A,R_B$ とすると

$$R_A+R_B=5P,\qquad6aR_B-4P(3a)-P(4a)+Pa=0.$$

よって $\boxed{R_A=R_B=5P/2}$。A の水平反力は $0$。

(2)

せん断力 $F_s$ は左側外力の上向き合計を正、曲げモーメント $M$ は下側引張を正とする。$\xi=x/a$ とおけば

$$\frac{F_s}{P}=\begin{cases} 5/2&0<\xi<1,\\ 7/2-\xi&1<\xi<4,\\ 5/2-\xi&4<\xi<5,\\ -5/2&5<\xi<6, \end{cases}$$

$$\frac M{Pa}=\begin{cases} 5\xi/2&0\le\xi\le1,\\ 5\xi/2-(\xi-1)^2/2&1\le\xi<4,\\ 5\xi/2-(\xi-1)^2/2-(\xi-4)-1&4<\xi\le5,\\ 5(6-\xi)/2&5\le\xi\le6. \end{cases}$$

C では $F_s/P:-1/2\to-3/2$、$M/(Pa):11/2\to9/2$ と不連続になる。最大曲げモーメントは $x=7a/2$ における $45Pa/8$。

(3)

$q$ は独立な分布荷重とする。$\langle x-b\rangle=\max(x-b,0)$ とおけば、反力 $2qa$ より

$$M(x)=2qax-\frac q2\langle x-a\rangle^2+\frac q2\langle x-5a\rangle^2.$$

下向きたわみ $v$ は $EIv''=-M$。二回積分し、$v(0)=v(6a)=0$ を課すと

$$EIv=-\frac{qa}{3}x^3+\frac q{24}\langle x-a\rangle^4 -\frac q{24}\langle x-5a\rangle^4+\frac{23}{3}qa^3x.$$

したがって

$$\boxed{v(4a)=\frac{305qa^4}{24EI}}\qquad\text{（鉛直下向き）}.$$

Reference

• 九州大学 2020年度 材料力学 公式問題（PDF 2ページ）