九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 材料力学 問2

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• 梁的挠度
• 欧拉–伯努利梁

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図に示すように、剛体 CDF が位置 $x=4a$ の点 C で溶接された長さ $6a$ の弾性体棒 AB（ヤング率：$E$、断面二次モーメント：$I$）がある。点 F に集中荷重 $P$、$x=a$ から $x=5a$ に一定の分布荷重 $q$ が加えられている。なお、はりの断面寸法は $a$ に比べて十分小さく、剛体と弾性体棒の自重は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。（50点）

(1) $q=P/a$ として、支持点 A と B に働く反力をそれぞれ求めよ。

(2) $q=P/a$ として、弾性体棒 AB のせん断力線図（SFD）と曲げモーメント線図（BMD）を描け。

(3) 集中荷重 $P=0$ の時、すなわち分布荷重 $q$ のみが加えられているとして、点 C の $y$ 方向変位を求めよ。

図中、$q$ は単位長さ当たりの荷重である。$x$ 軸は A から右向き、$y$ 軸は下向きとし、支持形式、荷重の向きおよび各寸法は図示のとおりである。

题目描述

如图，有一长度为 $6a$ 的弹性杆 AB，杨氏模量为 $E$、截面二次矩为 $I$，在 $x=4a$ 的 C 点焊接刚体 CDF。F 点受到集中载荷 $P$，从 $x=a$ 至 $x=5a$ 的区间受到恒定分布载荷 $q$。梁的截面尺寸相对于 $a$ 充分小，刚体和弹性杆的自重可以忽略。回答下列问题。（50分）

(1) 令 $q=P/a$，分别求支点 A、B 的反力。

(2) 令 $q=P/a$，绘制弹性杆 AB 的剪力图（SFD）和弯矩图（BMD）。

(3) 当集中载荷 $P=0$，即仅施加分布载荷 $q$ 时，求 C 点沿 $y$ 方向的位移。

图中 $q$ 为单位长度上的载荷。$x$ 轴从 A 点向右，$y$ 轴向下，支承形式、载荷方向及各尺寸如图所示。

Kai

(1)

剛体 CDF は C に下向きの力 $P$ と反時計回りの偶力 $Pa$ を伝える。上向き反力を $R_A,R_B$ とすると

$$\begin{gathered} R_A+R_B=5P,\qquad6aR_B-4P(3a)-P(4a)+Pa\\ =0. \end{gathered}$$

よって $\boxed{R_A=R_B=5P/2}$。A の水平反力は $0$。

(2)

せん断力 $F_s$ は左側外力の上向き合計を正、曲げモーメント $M$ は下側引張を正とする。$\xi=x/a$ とおけば

$$\frac{F_s}{P}=\begin{cases} 5/2&0<\xi<1,\\ 7/2-\xi&1<\xi<4,\\ 5/2-\xi&4<\xi<5,\\ -5/2&5<\xi<6, \end{cases}$$

$$\frac M{Pa}=\begin{cases} 5\xi/2&0\le\xi\le1,\\ 5\xi/2-(\xi-1)^2/2&1\le\xi<4,\\ 5\xi/2-(\xi-1)^2/2-(\xi-4)-1&4<\xi\le5,\\ 5(6-\xi)/2&5\le\xi\le6. \end{cases}$$

C では $F_s/P:-1/2\to-3/2$、$M/(Pa):11/2\to9/2$ と不連続になる。最大曲げモーメントは $x=7a/2$ における $45Pa/8$。

(3)

$q$ は独立な分布荷重とする。$\langle x-b\rangle=\max(x-b,0)$ とおけば、反力 $2qa$ より

$$M(x)=2qax-\frac q2\langle x-a\rangle^2+\frac q2\langle x-5a\rangle^2.$$

下向きたわみ $v$ は $EIv''=-M$。二回積分し、$v(0)=v(6a)=0$ を課すと

$$EIv=-\frac{qa}{3}x^3+\frac q{24}\langle x-a\rangle^4 -\frac q{24}\langle x-5a\rangle^4+\frac{23}{3}qa^3x.$$

したがって

$$\boxed{v(4a)=\frac{305qa^4}{24EI}}\qquad\text{（鉛直下向き）}.$$

Reference

• 九州大学 2020年度 材料力学 公式問題（PDF 2ページ）