九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 流体工学 問1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

図のように曲がり部を有する幅 $L$ の二次元ダクトが鉛直に立てられ，その中を密度 $\rho$ の水が流れている。ダクト内には整流格子が入っている。上流側の断面1は鉛直面上にあり，断面1を通過する流れは水平方向のみの速度成分を有し，かつ断面上の速度分布はダクト中心で最大となる三角形状であり，ダクト中心部における流速は $V_{\max}$，上下壁面における流速は0となっている。一方，下流側の断面2は水平面上にあり，かつ断面1の上壁面より $2L$ だけ高い位置にある。断面2を通過する流れは鉛直方向上向きのみの速度成分を有し，かつ流速は断面上で一様である。ダクト曲がり部の曲率半径は内側で $L$，外側で $2L$ である。断面1からダクト曲がり部までの距離は $L$ である。また，断面1の下壁面および断面2の壁面には密度 $\rho_m$（ただし $\rho_m>\rho$）の液体を入れたマノメーターが接続されており，その液面は大気開放部の液面よりそれぞれ $2h$ および $h$ だけ下方にあり，かつ後者の液面は断面1の下壁面と同じ高さである（なお，断面1および断面2に接続されたマノメーターの液面より上側は水で満たされていることに注意せよ）。重力加速度を $g$ として，以下の問に答えよ。（50点）

(1) 断面2における流速 $V_2$ を求めよ。

(2) 断面1から断面2までの部分におけるダクトの単位奥行きあたりの質量（内部の整流格子を含む）を $M$ とするとき，断面1から断面2までの部分において，単位奥行きあたりのダクトを支持するために必要な力の水平方向成分 $F_x$ および鉛直方向成分 $F_z$ を，$\rho,\rho_m,L,h,V_{\max},M$ および $g$ で表せ。ただし，それぞれ断面1および断面2における流れ方向を正の向きとする。

(3) 断面1と断面2の間で生じる単位奥行きかつ単位時間あたりのエネルギー損失 $E_{loss}$ を，$\rho,\rho_m,L,h,V_{\max}$ および $g$ で表せ。

题目描述

如图所示，宽度为 $L$、带有弯曲段的二维流道竖直放置，密度为 $\rho$ 的水在其中流动，流道内装有整流格栅。上游截面1位于竖直面内，通过该截面的流动仅具有水平速度分量；速度分布为三角形，在流道中心达到最大值 $V_{\max}$，上下壁面的速度均为零。下游截面2位于水平面内，比截面1的上壁面高 $2L$；通过截面2的流动仅具有竖直向上的速度分量，且截面上速度均匀。流道弯曲段的内、外曲率半径分别为 $L,2L$，截面1至弯曲段的距离为 $L$。截面1的下壁面和截面2的壁面分别连接装有密度为 $\rho_m$ 的液体的压力计，其中 $\rho_m>\rho$。两压力计连接侧的液面分别比通大气一侧的液面低 $2h,h$，且后者液面与截面1下壁面同高。注意：连接到截面1、2的压力计，其液面上方均充满水。设重力加速度为 $g$，回答下列问题。（50分）

(1) 求截面2上的流速 $V_2$。

(2) 将截面1至截面2之间的流道（包括内部整流格栅）单位进深质量记作 $M$，求支撑这部分单位进深流道所需的水平力 $F_x$ 和竖直力 $F_z$，用 $\rho,\rho_m,L,h,V_{\max},M,g$ 表示。两力分量分别以截面1、截面2的流动方向为正。

(3) 求截面1至截面2之间产生的单位进深、单位时间能量损失 $E_{loss}$，用 $\rho,\rho_m,L,h,V_{\max},g$ 表示。

Kai

(1)

入口速度を $u(z)$ とすると、三角形分布から

$$\int_0^L u(z)^n\,dz=\frac{LV_{\max}^n}{n+1}\qquad(n=1,2,3).$$

連続の式 $LV_2=\int_0^Lu\,dz$ より $\boxed{V_2=V_{\max}/2}$。

(2)

以下、圧力は大気圧を基準とする。マノメータの静水圧関係より

$$\begin{gathered} p_1(0)=(2\rho_m-\rho)gh,\\ p_1(z)=(2\rho_m-\rho)gh-\rho gz,\\ p_2=\rho_mgh-3\rho gL. \end{gathered}$$

ダクト内の水の単位奥行き当たり体積は

$$\begin{gathered} \mathcal V=L^2+\frac\pi4\{(2L)^2-L^2\}+L^2\\ =\left(2+\frac{3\pi}4\right)L^2. \end{gathered}$$

ダクトと内部の水を一体として運動量収支を取ると

$$F_x+\int_0^Lp_1(z)\,dz=-\rho\int_0^Lu^2\,dz,$$

$$F_z-p_2L-(M+\rho\mathcal V)g=\rho LV_2^2.$$

よって

$$\boxed{F_x=\frac{\rho gL^2}{2}-\frac{\rho LV_{\max}^2}{3} +(\rho-2\rho_m)gLh},$$

$$\boxed{F_z=\left(\frac{3\pi}4-1\right)\rho gL^2 +\frac{\rho LV_{\max}^2}{4}+\rho_mgLh+Mg}.$$

(3)

$Q=LV_{\max}/2$ とする。入口では $p_1+\rho gz=p_1(0)$ が一定なので、機械的エネルギー収支は

$$E_{\mathrm{loss}}=p_1(0)Q+\frac\rho2\int_0^Lu^3\,dz -\left(p_2+3\rho gL+\frac\rho2V_2^2\right)Q.$$

代入して

$$\boxed{E_{\mathrm{loss}}=\frac12(\rho_m-\rho)ghLV_{\max} +\frac1{16}\rho LV_{\max}^3}.$$

Reference

• 九州大学 2020年度 流体工学 公式問題（PDF 1ページ）