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九州大学 工学府 機械系専攻 2019年8月実施 機械力学 問1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

以下の問いに答えよ。滑車の回転に関する摩擦は無視できるものとし、重力加速度を gg とする。（50点）

(1) 図 (a) に示すように、質量 2m,3m2m,3m の物体が質量の無視できる滑車にかけられている。物体をつなぐロープには張力のみが作用し、その質量と伸縮は無視できる。質量 2m2m の物体の上向き変位を xx とする。加速度 x¨\ddot x とロープに作用する A 側、B 側の張力 FA,FBF_A,F_B を求めよ。

(2) 図 (a) において質量 3m3m の物体の質量を αm\alpha m と置き換えて α\alpha を増加させていくと x¨\ddot x はどのようになるか。

原図 (a)：定滑車にかけた二物体

(3) 図 (b) のように、質量 2m2m の物体が質量の無視できる動滑車に吊るされる。動滑車にかかるロープの一端は天井に固定され、他端は質量 9m9m、半径 rr、回転中心まわりの慣性モーメント I=9mr2/2I=9mr^2/2 の定滑車を介して質量 3m3m のおもりにつながれている。ロープには張力のみが作用し質量と伸縮は無視できる。定滑車とロープの間にすべりはないとする。質量 2m2m の物体の上向き変位を yy とし、加速度 y¨\ddot y と区間 A、B、C のロープに作用する張力 FA,FB,FCF_A,F_B,F_C を求めよ。

(4) 図 (b) の定滑車に時計まわりにトルク TT を与え質量 2m2m の物体を加速度 gg で上昇させる。TT の大きさを求めよ。また、このときのロープの張力 FA,FB,FCF_A,F_B,F_C を求めよ。

原図 (b)：動滑車と慣性をもつ定滑車

题目描述​

回答下列问题。忽略滑轮转动摩擦，重力加速度为 gg。（50分）

(1) 如图 (a)，质量为 2m,3m2m,3m 的物体悬挂于质量可忽略的滑轮两侧。连接物体的绳只能承受张力，质量和伸缩可忽略。以 xx 表示 2m2m 物体向上的位移，求加速度 x¨\ddot x 以及绳 A、B 两侧的张力 FA,FBF_A,F_B。

(2) 将图 (a) 中质量为 3m3m 的物体改为 αm\alpha m，逐渐增大 α\alpha 时，x¨\ddot x 如何变化？

(3) 如图 (b)，质量为 2m2m 的物体悬挂在质量可忽略的动滑轮上。绕过动滑轮的绳一端固定于天花板，另一端经过质量为 9m9m、半径为 rr、绕转动中心的转动惯量为 I=9mr2/2I=9mr^2/2 的定滑轮，与质量为 3m3m 的重物相连。绳只能承受张力，质量和伸缩可忽略；定滑轮与绳之间不滑动。以 yy 表示 2m2m 物体向上的位移，求加速度 y¨\ddot y 和绳 A、B、C 各段的张力 FA,FB,FCF_A,F_B,F_C。

(4) 对图 (b) 的定滑轮施加顺时针转矩 TT，使 2m2m 物体以加速度 gg 上升。求 TT 的大小及此时绳张力 FA,FB,FCF_A,F_B,F_C。

Kai​

(1)​

張力を FF とすると

2mx¨=F−2mg,3mx¨=3mg−F.2m\ddot x=F-2mg,\qquad3m\ddot x=3mg-F.

したがって x¨=g/5\boxed{\ddot x=g/5}、F=12mg/5F=12mg/5。

(2)​

x¨=α−2α+2g,dx¨dα=4g(α+2)2>0.\boxed{\ddot x=\frac{\alpha-2}{\alpha+2}g},\qquad \frac{d\ddot x}{d\alpha}=\frac{4g}{(\alpha+2)^2}>0.

α<2\alpha<2 では下向き、α=2\alpha=2 では 00、α>2\alpha>2 では上向きとなり、α→∞\alpha\to\infty で gg に下から近づく。

(3)​

動滑車の両側の張力を FA=FB=FF_A=F_B=F、右端の張力を FCF_C とする。動滑車が yy 上昇すると 3m3m は 2y2y 下降する。定滑車の慣性モーメントは I=9mr2/2I=9mr^2/2、時計回り角加速度は 2y¨/r2\ddot y/r である。

2my¨=2F−2mg,6my¨=3mg−FC,9mr222y¨r=(FC−F)r.\begin{gathered} 2m\ddot y=2F-2mg,\\ 6m\ddot y=3mg-F_C,\\ \frac{9mr^2}{2}\frac{2\ddot y}{r}=(F_C-F)r. \end{gathered}

消去して

y¨=g8,FA=FB=98mg,FC=94mg.\begin{gathered} \boxed{\ddot y=\frac g8},\\ F_A=F_B=\frac98mg,\\ F_C=\frac94mg. \end{gathered}

(4)​

最後の回転方程式を 9mry¨=(FC−F)r+T9mr\ddot y=(F_C-F)r+T に替えると

y¨=2mg+T/r16m,F=m(y¨+g),FC=3mg−6my¨.\begin{gathered} \ddot y=\frac{2mg+T/r}{16m},\\ F=m(\ddot y+g),\\ F_C=3mg-6m\ddot y. \end{gathered}

y¨=g\ddot y=g を形式的に代入すれば

T=14mgr,FA=FB=2mg,FC=−3mg.\begin{gathered} \boxed{T=14mgr},\\ F_A=F_B=2mg,\\ F_C=-3mg. \end{gathered}

ただし、ロープは圧縮力を伝えないため、負の FCF_C は実現できない。FC≥0F_C\ge0 の範囲は y¨≤g/2\ddot y\le g/2、すなわち T≤6mgrT\le6mgr である。したがって、全ロープが張った原題の拘束条件を保ちながら y¨=g\ddot y=g とする物理的な解は存在しない。

Reference​

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