九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 熱工学 問2

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• 内热源导热
• 外部强制对流
• 毕奥数

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

A君は，細い円柱に直交して流れる流体への強制対流熱伝達率を定常実験で求めることにした。そこで，水平に設置した長さ $L$，半径 $r_w$，熱伝導率 $k$ の円柱に直交して流体を流しながら円柱を一様に通電加熱し，電圧と電流の測定値から電気抵抗を求め，温度と抵抗の関係より円柱の平均温度 $T_m$ を測定した。そして，電圧と電流より求めた単位時間当たりの発熱量 $\dot Q$ から正しく求めた熱流束 $q_w$ および温度 $T_m$ と流体温度 $T_f$ との差を用いて熱伝達率を算出したところ，B君よりそれは正しくないと指摘された。この問題について以下の設問に答えよ。ただし，熱伝導率は一定，熱伝達率は一様と仮定し，円柱は十分長いと考えてよい。（60点）

(1) 円柱の単位時間単位体積当たりの発熱量 $\dot q_v$ および表面から流体に伝わる熱流束 $q_w$ を求めよ。

(2) A君が求めた熱伝達率 $h_A$ を上記問(1)までに出てきた物理量で表せ。

(3) B君が正しくないと主張した理由は何か。また，A君が求めた $h_A$ の値は，正しい熱伝達率より高いか低いか。

(4) 円柱内の半径方向（$r$ 方向）の温度分布を以下の熱伝導方程式を解いて求めたい。中心の境界条件を示せ。

$$\frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(kr\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)+\dot q_v=0$$

(5) 円柱内の半径方向温度分布を求めよ。ただし，円柱の表面温度を $T_w$ としてよい。

(6) 円柱の平均温度 $T_m$ と表面温度 $T_w$ との差を求めよ（円柱であることに注意して平均温度を求めよ）。

(7) 測定した平均温度 $T_m$ と発熱量 $\dot Q$ を用いて正しい熱伝達率を表せ。

(8) A君が求めた熱伝達率が正しい熱伝達率と10%以内の差で一致するためには，測定温度上昇すなわち $T_m-T_f$ がいくら以上になるように加熱すればよいか。

(9) B君が指摘した問題が重要かどうかは，「円柱内部の温度分布の大きさ」と「円柱表面と流体の温度差」の比に依存する。これを判断する際に検討すべき無次元数の名称と定義を示せ。ただし，代表寸法は $r_w$ としてよい。また，その無次元数の値がどうであればA君の方法でもほぼ正しい熱伝達率が求められるか。

题目描述

A同学打算通过稳态实验，测定流体横向流过细圆柱时的强制对流换热系数。他将长 $L$、半径 $r_w$、导热系数 $k$ 的圆柱水平放置，让流体垂直于圆柱流动，同时对圆柱均匀通电加热。根据测得的电压、电流求出电阻，再根据温度与电阻的关系测得圆柱平均温度 $T_m$。随后，他由电压、电流求出单位时间发热量 $\dot Q$，正确计算表面热流密度 $q_w$，并利用 $q_w$ 及 $T_m$ 与流体温度 $T_f$ 之差计算换热系数，但B同学指出这种做法不正确。假设导热系数恒定、换热系数均匀，圆柱足够长，回答下列问题。（60分）

(1) 求圆柱单位时间、单位体积的发热量 $\dot q_v$，以及表面传向流体的热流密度 $q_w$。

(2) 用题干及(1)中出现的物理量表示A测得的换热系数 $h_A$。

(3) B指出不正确的原因是什么？A求得的 $h_A$ 比正确换热系数高还是低？

(4) 为求圆柱内部径向（$r$ 方向）温度分布，需要求解以下导热方程。写出圆柱中心的边界条件。

$$\frac1r\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(kr\frac{\mathrm dT}{\mathrm dr}\right)+\dot q_v=0.$$

(5) 求圆柱内径向温度分布，可将圆柱表面温度记为 $T_w$。

(6) 求平均温度 $T_m$ 与表面温度 $T_w$ 之差。求平均温度时须注意圆柱几何形状。

(7) 使用测得的平均温度 $T_m$ 和发热量 $\dot Q$，表示正确的换热系数。

(8) 为使A所求换热系数与正确值的差不超过10%，应加热至测得的温升 $T_m-T_f$ 至少为多少？

(9) B指出的问题是否重要，取决于“圆柱内部温度分布的变化幅度”与“圆柱表面和流体温差”之比。给出判断时应考察的无量纲数名称及定义，特征长度可取 $r_w$。该无量纲数满足什么条件时，A的方法也能得到近似正确的换热系数？

Kai

(1)

$$\boxed{\dot q_v=\frac{\dot Q}{\pi r_w^2L},\qquad q_w=\frac{\dot Q}{2\pi r_wL}=\frac{\dot q_vr_w}{2}.}$$

(2)

$$\boxed{h_A=\frac{q_w}{T_m-T_f} =\frac{\dot Q}{2\pi r_wL(T_m-T_f)}.}$$

(3)

対流の駆動温度差は $T_w-T_f$ である。内部発熱のため $T_m>T_w$ であり、$T_m-T_f$ を使うと分母を過大評価する。したがって $\boxed{h_A<h}$。

(4)

中心の対称性と温度の有限性から

$$\boxed{T'(0)=0.}$$

(5)

方程式を積分し、中心条件および $T(r_w)=T_w$ を使うと

$$\begin{gathered} krT'=-\frac{\dot q_vr^2}{2},\\ \boxed{T(r)=T_w+\frac{\dot q_v}{4k}(r_w^2-r^2).} \end{gathered}$$

(6)

円柱の体積平均は半径に比例する重みをもつので

$$\begin{gathered} T_m-T_w=\frac{2}{r_w^2}\int_0^{r_w}[T(r)-T_w]r\,dr\\ =\frac{\dot q_vr_w^2}{8k}\\ =\boxed{\frac{\dot Q}{8\pi kL}}. \end{gathered}$$

(7)

$\delta=\dot Q/(8\pi kL)$ とおけば $T_w=T_m-\delta$ であり、

$$\boxed{h=\frac{\dot Q}{2\pi r_wL\left(T_m-T_f-\dfrac{\dot Q}{8\pi kL}\right)}.}$$

加熱時には分母の温度差が正でなければならない。

(8)

正しい $h$ を基準に相対誤差をとると

$$\frac{h-h_A}{h}=\frac{\delta}{T_m-T_f}\le0.10.$$

したがって

$$\boxed{T_m-T_f\ge10\delta=\frac{5\dot Q}{4\pi kL}.}$$

なお、$h,k$ を一定とするこのモデルでは $\dot Q$ と $T_m-T_f$ が比例するため、加熱量だけを増やして相対誤差を減らせるわけではない。

(9)

円柱自身の熱伝導率で定義する Biot 数

$$\boxed{\mathrm{Bi}=\frac{hr_w}{k}}$$

を用いる。実際に

$$\frac{T_m-T_w}{T_w-T_f}=\frac{\mathrm{Bi}}4, \qquad \frac{h-h_A}{h}=\frac{\mathrm{Bi}}{4+\mathrm{Bi}}.$$

したがって $\mathrm{Bi}\ll1$ なら内部温度差は小さく、A の方法はよい近似となる。