九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 熱工学 問1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図に示すように大気圧 $p_0$ のもと，互いに接続されたシリンダA，Bがあり，理想気体が充填されている。いずれのシリンダのピストンも摩擦無しにシリンダ内を移動できるが，シリンダBのピストンはバネでシリンダと結ばれている。初期状態1では圧力 $p_0$，温度 $T_0$，シリンダA，Bの容積はそれぞれ $3V_0,V_0$ であった。今，シリンダ内の気体の温度は $T_0$ で一定となるようにしたまま，シリンダAのピストンに力 $F$ を加えながら準静的に押し込み，シリンダA内の気体をすべてシリンダBに送り込んだ（状態2）。

この過程について，以下の問いに答えよ。ただし，このバネはシリンダ内の圧力が状態1のときの2倍になると長さが2倍となるようなバネ定数を有する。また，ピストンの面積を $S$ とし，バネの容積は無視できる。なお，シリンダを接続する通路の容積も無視でき，シリンダAとBの中の気体の圧力，温度は等しいものとする。（50点）

(1) シリンダBのピストンとシリンダを結ぶバネのバネ定数 $k$ が，$k=(p_0/V_0)S^2$ であることを示せ。

(2) 状態2においてシリンダBのピストンに作用する気体やバネからの力をすべて図中に矢印で示し，それらが何により生じている力であるかも示せ。

(3) 状態2におけるシリンダB内の気体の圧力 $p_2$ と容積 $V_{B2}$ を求め，$p_0,V_0$ で示せ。

(4) シリンダAとBの中の気体をひとつの系として考え，この系が状態1から状態2までの間に外部にした仕事 $L_{12}$ を求め，$p_0,V_0$ で示せ。

(5) 状態1から状態2までの間に，シリンダAとBの中の気体に外から伝わる熱量 $Q_{12}$ を求め，$p_0,V_0$ で示せ。

(6) 状態1から状態2までの間に，シリンダAのピストンを押し込む力 $F$ がした仕事 $W_{12}$ を求め，$p_0,V_0$ で示せ。

题目描述

如图，大气压为 $p_0$，相互连通的气缸A、B中充有理想气体。两个气缸的活塞均可无摩擦运动，B的活塞通过弹簧与气缸相连。初始状态1的压力为 $p_0$，温度为 $T_0$，A、B的容积分别为 $3V_0,V_0$。保持缸内气体温度恒为 $T_0$，向A活塞施加力 $F$，将其准静态推入，使A内全部气体进入B，达到状态2。

该弹簧具有这样的弹簧常数：缸内压力变为状态1的2倍时，弹簧长度变为2倍。活塞面积为 $S$，可忽略弹簧及连接通道的容积，A、B内气体压力和温度始终相同。回答下列问题。（50分）

(1) 证明连接B活塞与气缸的弹簧常数为 $k=(p_0/V_0)S^2$。

(2) 在图中用箭头标出状态2时气体和弹簧作用于B活塞的全部力，并说明各力的来源。

(3) 求状态2时B内气体的压力 $p_2$、容积 $V_{B2}$，用 $p_0,V_0$ 表示。

(4) 将A、B内气体视为一个系统，求它从状态1到状态2对外所做的功 $L_{12}$，用 $p_0,V_0$ 表示。

(5) 求从状态1到状态2外界传给A、B内气体的热量 $Q_{12}$，用 $p_0,V_0$ 表示。

(6) 求从状态1到状态2推入A活塞的力 $F$ 所做的功 $W_{12}$，用 $p_0,V_0$ 表示。

Kai

(1)

初期には内外の圧力が等しいため、ばねは自然長 $\ell_0=V_0/S$ にある。圧力 $2p_0$ では伸びが $\ell_0$ なので

$$(2p_0-p_0)S=k\ell_0, \qquad\boxed{k=\frac{p_0S^2}{V_0}.}$$

(2)

B のピストンには右向きに気体の力 $p_2S$、左向きに大気の力 $p_0S$ とばねの力 $k(V_{B2}-V_0)/S$ が作用する。

したがって力のつり合いは

$$p_2S=p_0S+\frac{k}{S}(V_{B2}-V_0).$$

(3)

任意の中間状態で、上のつり合いより $p=p_0V_B/V_0$。一方、等温の状態方程式は $p(V_A+V_B)=4p_0V_0$。終状態 $V_A=0$ で両式を合わせると

$$\boxed{V_{B2}=2V_0,\qquad p_2=2p_0.}$$

(4)

全容積 $V=V_A+V_B$ は $4V_0$ から $2V_0$ に減るから

$$\boxed{L_{12}=\int_{4V_0}^{2V_0}\frac{4p_0V_0}{V}\,dV =-4p_0V_0\ln2.}$$

(5)

理想気体の等温変化では $\Delta U=0$。$\Delta U=Q_{12}-L_{12}$ より

$$\boxed{Q_{12}=-4p_0V_0\ln2.}$$

負号は気体からの放熱を表す。

(6)

A のピストンでは $F=(p-p_0)S$。押込み方向の変位を $dx_A=-dV_A/S$ とすると

$$W_{12}=-\int(p-p_0)\,dV_A.$$

また

$$\begin{gathered} \int_{V_0}^{2V_0}p\,dV_B =\int_{V_0}^{2V_0}\frac{p_0V_B}{V_0}\,dV_B =\frac32p_0V_0,\\ \int p\,dV_A=L_{12}-\frac32p_0V_0. \end{gathered}$$

$\Delta V_A=-3V_0$ も用いると

$$\boxed{\begin{gathered} W_{12}=-L_{12}+\frac32p_0V_0-3p_0V_0\\ =\left(4\ln2-\frac32\right)p_0V_0. \end{gathered}}$$