九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 熱工学 問1

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• 热力学第一定律

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

大気圧 $p_0$ のもと、互いに接続されたシリンダ A、B に理想気体が充填されている。面積 $S$ のピストンはいずれも摩擦なく移動し、B のピストンはばねでシリンダと結ばれている。初期状態 1 では気体の圧力 $p_0$、温度 $T_0$、容積は A が $3V_0$、B が $V_0$ であった。

温度を $T_0$ に保ち、A のピストンを力 $F$ で準静的に押して気体をすべて B に送り込む（状態 2）。ばねは気体の圧力が初期の 2 倍になると長さも 2 倍になるばね定数をもつ。ばねと連絡通路の容積は無視でき、両シリンダの気体の圧力・温度は等しい。（50 点）

1. ばね定数が $k=p_0S^2/V_0$ となることを示せ。
2. 状態 2 で B のピストンに作用する気体・ばねからの力をすべて矢印で示し、各力の原因も示せ。
3. 状態 2 の圧力 $p_2$ と容積 $V_{B2}$ を $p_0,V_0$ で表せ。
4. A、B の気体を一つの系としたとき、状態 1 から 2 までに系が外部へする仕事 $L_{12}$ を求めよ。
5. この間に気体が外から受け取る熱量 $Q_{12}$ を求めよ。
6. A のピストンを押す力 $F$ のする仕事 $W_{12}$ を求めよ。以上の仕事・熱量は $p_0,V_0$ で示せ。

题目描述

大气压 $p_0$ 下的两个连通气缸装有理想气体，初始温度 $T_0$、压力 $p_0$，体积分别为 $3V_0,V_0$。B 的活塞连接弹簧；气压翻倍时弹簧长度也翻倍。保持等温，准静态推动 A，直至其气体全部进入 B。求弹簧刚度、B 活塞受力、终态压力与体积、全部气体对外做功、吸热量，以及外加推力 $F$ 单独做的功。活塞面积均为 $S$，忽略摩擦、弹簧体积和通道体积。

Kai

(1)

初期には内外の圧力が等しいため、ばねは自然長 $\ell_0=V_0/S$ にある。圧力 $2p_0$ では伸びが $\ell_0$ なので

$$(2p_0-p_0)S=k\ell_0, \qquad\boxed{k=\frac{p_0S^2}{V_0}.}$$

(2)

B のピストンには右向きに気体の力 $p_2S$、左向きに大気の力 $p_0S$ とばねの力 $k(V_{B2}-V_0)/S$ が作用する。

したがって力のつり合いは

$$p_2S=p_0S+\frac{k}{S}(V_{B2}-V_0).$$

(3)

任意の中間状態で、上のつり合いより $p=p_0V_B/V_0$。一方、等温の状態方程式は $p(V_A+V_B)=4p_0V_0$。終状態 $V_A=0$ で両式を合わせると

$$\boxed{V_{B2}=2V_0,\qquad p_2=2p_0.}$$

(4)

全容積 $V=V_A+V_B$ は $4V_0$ から $2V_0$ に減るから

$$\boxed{L_{12}=\int_{4V_0}^{2V_0}\frac{4p_0V_0}{V}\,dV =-4p_0V_0\ln2.}$$

(5)

理想気体の等温変化では $\Delta U=0$。$\Delta U=Q_{12}-L_{12}$ より

$$\boxed{Q_{12}=-4p_0V_0\ln2.}$$

負号は気体からの放熱を表す。

(6)

A のピストンでは $F=(p-p_0)S$。押込み方向の変位を $dx_A=-dV_A/S$ とすると

$$W_{12}=-\int(p-p_0)\,dV_A.$$

また

$$\int_{V_0}^{2V_0}p\,dV_B =\int_{V_0}^{2V_0}\frac{p_0V_B}{V_0}\,dV_B =\frac32p_0V_0, \qquad \int p\,dV_A=L_{12}-\frac32p_0V_0.$$

$\Delta V_A=-3V_0$ も用いると

$$\boxed{W_{12}=-L_{12}+\frac32p_0V_0-3p_0V_0 =\left(4\ln2-\frac32\right)p_0V_0.}$$