九州大学工学府機械系専攻 2018年8月実施数学問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

以下の問いに答えよ。必要に応じて留数定理

\oint f(z)\,dz=2\pi i\sum_j\operatorname{Res}(a_j,f)

を用いてよい。ここで、 $i$ は虚数、 $\operatorname{Res}(a_j,f)$ は留数、 $a_j$ は特異点を表す。（50点）

(1) 定積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ を求めよ。

(2) 恒等式

\frac1{1+z^4}=\sum_j\frac{\delta_j}{z-\lambda_j}

が成立するように、複素数の定数 $\delta_j,\lambda_j$ を定めよ。ここで、 $\lambda_j$ は方程式 $z^4=-1$ の解である。

(3) 定積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}$ を求めよ。

回答以下各问，必要时可以使用留数定理

\oint f(z)\,dz=2\pi i\sum_j\operatorname{Res}(a_j,f).

其中 $i$ 表示虚数， $\operatorname{Res}(a_j,f)$ 表示留数， $a_j$ 表示奇点。（50分）

(1) 求定积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$ 。

(2) 确定复常数 $\delta_j,\lambda_j$ ，使恒等式

\frac1{1+z^4}=\sum_j\frac{\delta_j}{z-\lambda_j}

成立。其中 $\lambda_j$ 是方程 $z^4=-1$ 的解。

(3) 求定积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^4}$ 。

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} =\left[\arctan x\right]_{-\infty}^{\infty} =\boxed{\pi}.

$z^4=-1$ の4根は相異なり、

\boxed{\begin{gathered} \lambda_j=\exp\left(\frac{(2j+1)\pi i}{4}\right),\\ j=0,1,2,3 \end{gathered}}.

各極での留数が部分分数の係数なので

\boxed{\delta_j=\frac1{4\lambda_j^3}=-\frac{\lambda_j}{4}}.

最後の等号では $\lambda_j^4=-1$ を用いた。

上半平面内の極は $\lambda_0=e^{i\pi/4}$ 、 $\lambda_1=e^{3i\pi/4}$ 。半径 $R$ の上半円弧上の積分は $R\to\infty$ で $O(R^{-3})\to0$ なので、留数定理から

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} &=2\pi i\left(-\frac{\lambda_0+\lambda_1}{4}\right)\\ &=2\pi i\left(-\frac{i\sqrt2}{4}\right) =\boxed{\frac\pi{\sqrt2}}. \end{aligned}