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九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 数学 問3

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

CC を初期位置が座標 (0,r)(0,r) を中心とする XYXY 平面上の半径 rr の円とする。CC は XX 軸上を正方向へ滑ることなく角度 θ [rad]\theta\,[\mathrm{rad}] だけ転がるとする。PP を CC の円周上の点とし、CC が初期位置にあるとき PP は原点 (0,0)(0,0) と一致する。以下の問いに答えよ。（50点）

(1) PP の座標 (x,y)(x,y) を rr と θ\theta を用いて示せ。

(2) CC が1回転するときの PP の軌跡と XX 軸に囲まれた面積を求めよ。

次に、XYZXYZ 空間における SS を座標 (0,r,0)(0,r,0) を中心とする半径 2r2r の球体とし、C′C' を θ=1\theta=1 の時の CC を底面とする ZZ 軸正方向に高さ 2r2r を持つ円柱とする。以下の問に答えよ。

(3) SS および C′C' について、XYXY 平面への投影図を描け。

(4) SS と C′C' が重なる空間の体積を求めよ。

题目描述​

设 CC 是 XYXY 平面上半径为 rr 的圆，初始圆心为 (0,r)(0,r)。该圆沿 XX 轴正方向无滑动滚过角度 θ [rad]\theta\,[\mathrm{rad}]。PP 是圆周上的一点，在圆处于初始位置时，PP 与原点 (0,0)(0,0) 重合。回答以下各问。（50分）

(1) 用 rr 和 θ\theta 表示 PP 的坐标 (x,y)(x,y)。

(2) 求 CC 滚动一周时，PP 的轨迹与 XX 轴围成的面积。

接下来，在 XYZXYZ 空间中，设 SS 是以 (0,r,0)(0,r,0) 为中心、半径为 2r2r 的球体；C′C' 是以 θ=1\theta=1 时的圆 CC 为底面、沿 ZZ 轴正方向高为 2r2r 的圆柱。回答以下各问。

(3) 分别画出 SS 和 C′C' 在 XYXY 平面上的投影图。

(4) 求 SS 与 C′C' 的重叠部分的体积。

Kai​

(1)​

円の中心は (rθ,r)(r\theta,r) に移動し、中心に対する PP の位置は (−rsin⁡θ,−rcos⁡θ)(-r\sin\theta,-r\cos\theta)。よって

x=r(θ−sin⁡θ),y=r(1−cos⁡θ).\boxed{x=r(\theta-\sin\theta),\qquad y=r(1-\cos\theta)}.

(2)​

dx=r(1−cos⁡θ)dθdx=r(1-\cos\theta)d\theta より、面積は

A=∫02πr2(1−cos⁡θ)2dθ=3πr2.A=\int_0^{2\pi}r^2(1-\cos\theta)^2d\theta =\boxed{3\pi r^2}.

(3)​

θ=1\theta=1 のときの円の中心は (r,r)(r,r) なので、投影領域は

S: x2+(y−r)2≤4r2,C′: (x−r)2+(y−r)2≤r2.\begin{gathered} S:\ x^2+(y-r)^2\le4r^2,\\ C':\ (x-r)^2+(y-r)^2\le r^2. \end{gathered}

半径 2r2r の円板の内部に半径 rr の円板があり、(2r,r)(2r,r) で内接する。

球体と円柱のXY平面への投影

(4)​

v=y−rv=y-r とし、x=ρcos⁡φx=\rho\cos\varphi、v=ρsin⁡φv=\rho\sin\varphi とおく。円柱の底面は

0≤ρ≤2rcos⁡φ,−π2≤φ≤π2.0\le\rho\le2r\cos\varphi,\qquad -\frac\pi2\le\varphi\le\frac\pi2.

この底面の各点で、共通部分は 0≤z≤4r2−ρ20\le z\le\sqrt{4r^2-\rho^2} である。したがって

V=∫−π/2π/2∫02rcos⁡φρ4r2−ρ2 dρ dφ=8r33∫−π/2π/2(1−∣sin⁡φ∣3)dφ=8r33(π−2⋅23)=8r39(3π−4).\begin{aligned} V&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2r\cos\varphi} \rho\sqrt{4r^2-\rho^2}\,d\rho\,d\varphi\\ &=\frac{8r^3}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1-|\sin\varphi|^3\right)d\varphi\\ &=\frac{8r^3}{3}\left(\pi-2\cdot\frac23\right) =\boxed{\frac{8r^3}{9}(3\pi-4)}. \end{aligned}
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