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九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 数学 問2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

連立漸化式

{xn+1=xn+2yn−2,yn+1=3xn+2yn−4\begin{cases} x_{n+1}=x_n+2y_n-2,\\ y_{n+1}=3x_n+2y_n-4 \end{cases}

について、以下の問いに答えよ。ただし、nn を自然数とする。（50点）

  1. an=[xn,yn]T\boldsymbol a_n=[x_n,y_n]^{\mathsf T} として、この連立漸化式を an+1=Aan+b\boldsymbol a_{n+1}=A\boldsymbol a_n+\boldsymbol b の形で表せ。ここで、AA は定数行列、b\boldsymbol b は定数ベクトルである。
  2. 行列 AA の固有値と固有ベクトルを求めよ。
  3. AnA^n を計算せよ。
  4. [x0,y0]T=[1,2]T[x_0,y_0]^{\mathsf T}=[1,2]^{\mathsf T} のとき、an=[xn,yn]T\boldsymbol a_n=[x_n,y_n]^{\mathsf T} を求めよ。

题目描述​

对递推关系 xn+1=xn+2yn−2x_{n+1}=x_n+2y_n-2、yn+1=3xn+2yn−4y_{n+1}=3x_n+2y_n-4：① 写成向量形式 an+1=Aan+b\boldsymbol a_{n+1}=A\boldsymbol a_n+\boldsymbol b；② 求 AA 的特征值与特征向量；③ 求 AnA^n；④ 在初值 (x0,y0)=(1,2)(x_0,y_0)=(1,2) 下求通项。

Kai​

(1)​

A=(1232),b=(−2−4).\boxed{A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\binom{-2}{-4}}.

(2)​

det⁡(λI−A)=λ2−3λ−4=(λ+1)(λ−4).\det(\lambda I-A)=\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda+1)(\lambda-4).

したがって固有値と対応する固有ベクトルは

λ=−1: c(1−1),λ=4: d(23)(c,d≠0).\boxed{\lambda=-1:\ c\binom1{-1},\qquad \lambda=4:\ d\binom23}\qquad(c,d\ne0).

(3)​

P=(12−13),P−1=15(3−211)P=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}3&-2\\1&1\end{pmatrix}

とおけば A=Pdiag⁡(−1,4)P−1A=P\operatorname{diag}(-1,4)P^{-1}。よって

An=15(3(−1)n+2⋅4n−2(−1)n+2⋅4n−3(−1)n+3⋅4n2(−1)n+3⋅4n).\boxed{A^n=\frac15 \begin{pmatrix} 3(-1)^n+2\cdot4^n&-2(-1)^n+2\cdot4^n\\ -3(-1)^n+3\cdot4^n&2(-1)^n+3\cdot4^n \end{pmatrix}}.

(4)​

a∗=Aa∗+b\boldsymbol a_*=A\boldsymbol a_*+\boldsymbol b を満たす定常解は a∗=(1,1)T\boldsymbol a_*=(1,1)^{\mathsf T}。したがって

an−a∗=An(a0−a∗)=An(01).\boldsymbol a_n-\boldsymbol a_*=A^n(\boldsymbol a_0-\boldsymbol a_*) =A^n\binom01.

(3) より

an=15(−2(−1)n+2⋅4n+52(−1)n+3⋅4n+5).\boxed{ \boldsymbol a_n=\frac15 \binom{-2(-1)^n+2\cdot4^n+5}{2(-1)^n+3\cdot4^n+5} }.
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