九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 数学 問2

标签：

• 九州大学
• 递推关系
• 特征值与特征向量
• 矩阵幂

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

連立漸化式

$$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+2y_n-2,\\ y_{n+1}=3x_n+2y_n-4 \end{cases}$$

について、以下の問いに答えよ。ただし、$n$ を自然数とする。（50点）

(1) $\boldsymbol a_n=\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}$ として、この連立漸化式を $\boldsymbol a_{n+1}=A\boldsymbol a_n+\boldsymbol b$ の形で表せ。ここで、$A$ は定数行列、$\boldsymbol b$ は定数ベクトルである。

(2) 行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

(3) $A^n$ を計算せよ。

(4) $\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ のとき、$\boldsymbol a_n=\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}$ を求めよ。

题目描述

对于联立递推关系

$$\begin{cases} x_{n+1}=x_n+2y_n-2,\\ y_{n+1}=3x_n+2y_n-4, \end{cases}$$

回答以下各问，其中 $n$ 为自然数。（50分）

(1) 令 $\boldsymbol a_n=\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}$，将联立递推关系表示为 $\boldsymbol a_{n+1}=A\boldsymbol a_n+\boldsymbol b$，其中 $A$ 为常数矩阵，$\boldsymbol b$ 为常向量。

(2) 求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。

(3) 计算 $A^n$。

(4) 当 $\begin{bmatrix}x_0\\y_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 时，求 $\boldsymbol a_n=\begin{bmatrix}x_n\\y_n\end{bmatrix}$。

Kai

(1)

$$\boxed{A=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\binom{-2}{-4}}.$$

(2)

$$\begin{gathered} \det(\lambda I-A)=\lambda^2-3\lambda-4\\ =(\lambda+1)(\lambda-4). \end{gathered}$$

したがって固有値と対応する固有ベクトルは

$$\begin{gathered} \boxed{\lambda=-1:\ c\binom1{-1},\qquad \lambda=4:\ d\binom23}\\ (c,d\ne0). \end{gathered}$$

(3)

$$P=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}3&-2\\1&1\end{pmatrix}$$

とおけば $A=P\operatorname{diag}(-1,4)P^{-1}$。よって

$$\boxed{A^n=\frac15 \begin{pmatrix} 3(-1)^n+2\cdot4^n&-2(-1)^n+2\cdot4^n\\ -3(-1)^n+3\cdot4^n&2(-1)^n+3\cdot4^n \end{pmatrix}}.$$

(4)

$\boldsymbol a_*=A\boldsymbol a_*+\boldsymbol b$ を満たす定常解は $\boldsymbol a_*=(1,1)^{\mathsf T}$。したがって

$$\boldsymbol a_n-\boldsymbol a_*=A^n(\boldsymbol a_0-\boldsymbol a_*) =A^n\binom01.$$

(3) より

$$\boxed{ \boldsymbol a_n=\frac15 \binom{-2(-1)^n+2\cdot4^n+5}{2(-1)^n+3\cdot4^n+5} }.$$