九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 数学 問1

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• 九州大学
• 二阶线性常微分方程
• 柯西–欧拉方程
• 可分离变量的常微分方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

以下に示す微分方程式の一般解をそれぞれ求めよ。なお、積分定数は適宜定義してよい。（50点）

(1)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-5\frac{dy(x)}{dx}+6y(x)=e^{2x}.$$

(2)

$$x^2\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4x\frac{dy(x)}{dx}+6y(x)=0.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2=0.$$

题目描述

分别求下列微分方程的通解。积分常数可以自行适当定义。（50分）

(1)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-5\frac{dy(x)}{dx}+6y(x)=e^{2x}.$$

(2)

$$x^2\frac{d^2y(x)}{dx^2}-4x\frac{dy(x)}{dx}+6y(x)=0.$$

(3)

$$\frac{d^2y(x)}{dx^2}-\left(\frac{dy(x)}{dx}\right)^2=0.$$

Kai

(1)

同次方程式の特性方程式は $(\lambda-2)(\lambda-3)=0$。非同次項が同次解と重なるので、特解を $y_p=axe^{2x}$ とおくと、代入により $-ae^{2x}=e^{2x}$、したがって $a=-1$。よって

$$\boxed{y(x)=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-xe^{2x}}.$$

(2)

$x\ne0$ の区間で $y=x^m$ とおくと

$$\begin{gathered} m(m-1)-4m+6=(m-2)(m-3)\\ =0. \end{gathered}$$

したがって

$$\boxed{y(x)=C_1x^2+C_2x^3}.$$

$x>0$、$x<0$ のいずれの区間でも同じ形となる。

(3)

$u=y'$ とおくと $u'=u^2$。$u\ne0$ の場合は

$$\begin{gathered} \frac{du}{u^2}=dx\\ \Longrightarrow\\ u=-\frac1{x-C_1},\\ \boxed{y(x)=-\log|x-C_1|+C_2}\\ (x\ne C_1). \end{gathered}$$

また、$u=0$ に対応する定数解 $\boxed{y(x)=C}$ もある。