九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 材料力学 問4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

右図に示すような薄肉断面をもつ長柱がある。長柱は、厚み $t$、ヤング率 $E$ の薄板を接合して作られ、軸方向の長さは $\ell$ である。長柱は、その上下端でそれぞれヒンジで剛体に固定され、軸方向のみに変位する。つまり、$x$ 軸まわりには長柱の上下両端で回転端（回転を許す結合）、$y$ 軸まわりには同じく両端で固定端（回転を許さない結合）となっている。今、上側の剛体が下降し、軸圧縮荷重が作用する。ただし、各薄板が単独で座屈することはないものとする。また、薄板の幅を $a$ とした時、$\ell\gg a\gg t$ とする。次の各問に答えよ。（30点）

(1) 長柱断面の重心と薄板 AB との距離 $e$ を求めよ。

(2) $x$ 軸に関する断面二次モーメント $I_x$、および $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_y$ を求めよ。

(3) 長柱の座屈荷重を求めよ。

题目描述

有一根截面如图所示的薄壁长柱，由厚度为 $t$、杨氏模量为 $E$ 的薄板连接而成，轴向长度为 $\ell$。长柱上下两端分别通过铰链与刚体连接，只能沿轴向发生位移。即绕 $x$ 轴，上下两端均为允许转动的转动端；绕 $y$ 轴，两端均为不允许转动的固定端。现令上方刚体下降，对柱施加轴向压缩载荷。各薄板不会单独发生局部屈曲。设薄板宽度为 $a$，且 $\ell\gg a\gg t$，回答下列问题。（30分）

(1) 求长柱截面重心到薄板 AB 的距离 $e$。

(2) 求截面对 $x$ 轴的二次矩 $I_x$ 和对 $y$ 轴的二次矩 $I_y$。

(3) 求长柱的屈曲载荷。

各板尺寸、间距以及通过截面重心的坐标轴如图所示。

Kai

薄肉近似を用い、板厚に由来する高次の項を無視する。

(1)

AB の中心線を水平位置の原点とすると、縦板の面積は $at$、重心位置は $0$。3 枚の水平板は各面積 $at$、重心位置は $a/2$ である。断面一次モーメントから

$$\boxed{e=\frac{3(at)(a/2)}{at+3at}=\frac{3a}{8}}.$$

(2)

上下対称なので重心は中央の水平板上にある。$x$ 軸については縦板の寄与と上下の水平板の寄与を加えて

$$\boxed{I_x=\frac{ta^3}{12}+2at\left(\frac a2\right)^2 =\frac{7a^3t}{12}}.$$

$y$ 軸については平行軸の定理より

$$I_y=at\left(\frac{3a}{8}\right)^2 +3\left[\frac{ta^3}{12}+at\left(\frac a2-\frac{3a}{8}\right)^2\right].$$

したがって

$$\boxed{I_y=\frac{7a^3t}{16}}.$$

(3)

$x$ 軸まわりの曲げ座屈は両端回転端で、有効長さは $l$。$y$ 軸まわりは両端固定端で、有効長さは $l/2$ である。それぞれの Euler 荷重は

$$P_{\mathrm{cr},x}=\frac{\pi^2EI_x}{l^2} =\frac{7\pi^2Ea^3t}{12l^2},$$

$$P_{\mathrm{cr},y}=\frac{\pi^2EI_y}{(l/2)^2} =\frac{7\pi^2Ea^3t}{4l^2}.$$

小さい方が限界荷重なので、$x$ 軸まわりに曲がる（$y$ 方向へたわむ）座屈が先に起こり、

$$\boxed{P_{\mathrm{cr}}=\frac{7\pi^2Ea^3t}{12l^2}}.$$