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九州大学 工学府 機械系専攻 2018年8月実施 材料力学 問3

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図のように、構造体 OABCD が点 O で剛体壁に固定されている。構造体は点 D でナイフエッジに接し zz 方向への移動が拘束されており、初期状態での反力はゼロである。点 C に zz 方向に荷重 PP を作用させるとき、次の各問に答えよ。ただし、OA と CD はヤング率 EE、ポアソン比 ν\nu、直径 dd の弾性丸棒であり、L 字型部材 ABC は剛体である。弾性棒 OA と弾性棒 CD は、それぞれ点 A と点 C で L 字型部材 ABC に溶接されている。ナイフエッジと弾性棒 CD の間に摩擦はないものとする。また、a,b,c,e≫da,b,c,e\gg d である。（40点）

(1) 点 D で構造体がナイフエッジから受ける反力を QQ（未知）とする。QQ を用いて点 A に作用するせん断力 FAF_A、曲げモーメント MAM_A およびねじりモーメント TAT_A を表せ。

(2) QQ を求めよ。

図中、OA、AB、BC、CD の長さはそれぞれ a,b,c,ea,b,c,e であり、OA、AB、CD は xx 方向、BC は yy 方向に配置されている。+z+z は図の下向きである。

原題の空間構造とナイフエッジ支持

题目描述​

如图，结构 OABCD 在 O 点固定于刚性墙壁，在 D 点与刀口支承接触，沿 zz 方向的位移受到约束，初始状态的反力为零。在 C 点施加沿 zz 方向的载荷 PP 时，回答下列问题。OA、CD 为杨氏模量 EE、泊松比 ν\nu、直径 dd 的弹性圆杆，L 形构件 ABC 为刚体。弹性杆 OA、CD 分别在 A、C 点焊接于 L 形构件 ABC。刀口与弹性杆 CD 之间无摩擦，且 a,b,c,e≫da,b,c,e\gg d。（40分）

(1) 设结构在 D 点受到的刀口反力为未知量 QQ。用 QQ 表示作用在 A 点的剪力 FAF_A、弯矩 MAM_A 和扭矩 TAT_A。

(2) 求 QQ。

图中 OA、AB、BC、CD 的长度依次为 a,b,c,ea,b,c,e；OA、AB、CD 沿 xx 方向，BC 沿 yy 方向。+z+z 为图示向下方向。

Kai​

(1)​

QQ を −z-z 方向の反力の大きさとする。部材 ABCD が OA の端 A に伝える力・モーメントについて、FAF_A は +z+z、MAM_A は +y+y、TAT_A は +x+x を正に取る。力とモーメントのつり合いから

FA=P−Q,MA=Qe−(P−Q)b,TA=(P−Q)c.\begin{gathered} \boxed{F_A=P-Q},\\ \boxed{M_A=Qe-(P-Q)b},\\ \boxed{T_A=(P-Q)c}. \end{gathered}

(2)​

I=πd4/64I=\pi d^4/64、J=2IJ=2I、G=E/[2(1+ν)]G=E/[2(1+\nu)] とする。OA 上で O からの距離を ss、CD 上で C からの距離を rr とすれば、曲げモーメントは

MOA(s)=−P(a+b−s)+Q(a+b+e−s),MCD(r)=Q(e−r).\begin{gathered} M_{OA}(s)=-P(a+b-s)+Q(a+b+e-s),\\ M_{CD}(r)=Q(e-r). \end{gathered}

OA のねじりモーメントは一定で (P−Q)c(P-Q)c。したがって、曲げとねじりのひずみエネルギーは

U=12EI∫0aMOA(s)2 ds+a(P−Q)2c22GJ+12EI∫0eQ2(e−r)2 dr.\begin{aligned} U&=\frac1{2EI}\int_0^a M_{OA}(s)^2\,ds\\ &\quad+\frac{a(P-Q)^2c^2}{2GJ}\\ &\quad+\frac1{2EI}\int_0^e Q^2(e-r)^2\,dr. \end{aligned}

D の zz 方向変位がゼロであるため、Castigliano の定理による適合条件は ∂U/∂Q=0\partial U/\partial Q=0 である。積分すると

Q[a33+a2(b+e)+a(b+e)2+(1+ν)ac2+e33]Q\left[\frac{a^3}{3}+a^2(b+e)+a(b+e)^2 +(1+\nu)ac^2+\frac{e^3}{3}\right]
=P[a33+a2(2b+e)2+ab(b+e)+(1+ν)ac2].=P\left[\frac{a^3}{3}+\frac{a^2(2b+e)}2 +ab(b+e)+(1+\nu)ac^2\right].

よって

Q=P a33+a2(2b+e)2+ab(b+e)+(1+ν)ac2a33+a2(b+e)+a(b+e)2+(1+ν)ac2+e33.\boxed{ Q=P\, \frac{\dfrac{a^3}{3}+\dfrac{a^2(2b+e)}2+ab(b+e)+(1+\nu)ac^2} {\dfrac{a^3}{3}+a^2(b+e)+a(b+e)^2+(1+\nu)ac^2+\dfrac{e^3}{3}} }.

分母と分子の差は a2e/2+ae(b+e)+e3/3>0a^2e/2+ae(b+e)+e^3/3>0 であり、0<Q<P0<Q<P。したがって、ナイフエッジとの接触条件も満たす。

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