九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 材料力学 問2

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• 梁的挠度
• 变形协调

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図のように、構造 OAB-CAD が点 O と点 B で剛体壁に固定されている。点 C および点 D にそれぞれ $x$ 方向荷重 $P$ を作用させる。構造は直径 $d$、ヤング率 $E$ の丸棒からなり、$\ell\gg d$ である。図の寸法は OA $=\ell$、AB $=2\ell$、AC $=2\ell$、AD $=\ell$ とする。

1. OAB 間のせん断力線図（SFD）、曲げモーメント線図（BMD）を描け。
2. 点 C の $x$ 方向変位 $\delta_{Cx}$ を求めよ。

题目描述

圆杆结构 OAB-CAD 在 O、B 两端固定，C、D 两点分别受到沿 $+x$ 方向的力 $P$。圆杆直径为 $d$，杨氏模量为 $E$，且 $\ell\gg d$。各段长度为 OA $=\ell$、AB $=2\ell$、AC $=2\ell$、AD $=\ell$。画出 OAB 的剪力图与弯矩图，并求 C 点沿 $x$ 方向的位移。

Kai

断面二次モーメントを $I=\pi d^4/64$ とする。$\ell\gg d$ より、まず曲げ変形の主要項を求める。

(1)

CAD が A に伝える力は $x$ 方向に $2P$、偶力は時計回りに $P\ell$ である。OAB 上の O から右向きの座標を $s$、下向きたわみを $v(s)$ とし、図示する内力の符号を

$$M=EI v'',\qquad V=EI v'''$$

と定める。O、B の固定条件および A のたわみ・傾きの連続条件は

$$v(0)=v'(0)=v(3\ell)=v'(3\ell)=0,$$

$$v(\ell-)=v(\ell+),\qquad v'(\ell-)=v'(\ell+).$$

また、$V$ は A で連続し、集中偶力により $M(\ell+)-M(\ell-)=-P\ell$ となる。これらから

$$\boxed{V(s)=\frac{4P}{9}\quad(0<s<3\ell)}$$

および

$$\boxed{ M(s)= \begin{cases} \dfrac{4P}{9}s,&0\leq s<\ell,\\[2mm] \dfrac{4P}{9}s-P\ell,&\ell<s\leq3\ell \end{cases}}$$

を得る。BMD の値は O で $0$、A の左側で $4P\ell/9$、右側で $-5P\ell/9$、B で $P\ell/3$ である。

(2)

OA では $EI v''=4Ps/9$ なので、O の固定条件から

$$v(s)=\frac{2Ps^3}{27EI},\qquad \theta_A=v'(\ell)=\frac{2P\ell^2}{9EI}.$$

C の水平変位は、A の回転による $2\ell\theta_A$ と、AC 自身の片持ちはりとしての曲げたわみの和である。

$$\boxed{\delta_{Cx} =2\ell\theta_A+\frac{P(2\ell)^3}{3EI} =\frac{28P\ell^3}{9EI} =\frac{1792P\ell^3}{9\pi Ed^4}}.$$

軸伸縮まで含める場合、A の水平移動は、OA と AB の軸剛性の和を用いて

$$u_A=\frac{2P}{EA_0/\ell+EA_0/(2\ell)} =\frac{4P\ell}{3EA_0},\qquad A_0=\frac{\pi d^2}{4}$$

となり、上の $\delta_{Cx}$ に $u_A$ を加える。この補正は曲げ項に対して $O((d/\ell)^2)$ である。