九州大学 工学府 機械系専攻 2019年度 材料力学 問1

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• 变形协调
• 应变能

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

直径 $d$、ヤング率 $E$ の弾性体棒 AG、BG、CG と、L 型の剛体部材 GFD が図のように組み合わされている。A、B、C、D は壁に支持され、図中の丸印はピン継手を表す。AG、GF、FD の長さはそれぞれ $\ell$、BG は水平となす角が $45^\circ$、CG は水平となす角が $\theta$ である。$\ell\gg d$、$45^\circ\leq\theta\leq90^\circ$ とする。

点 G に徐々に鉛直下向きの力を加え、その大きさが $P$ に達したときの鉛直変位を $\delta_y$、水平変位を $\delta_x$ とする。正方向は図中の $x,y$ 軸の矢印方向とする。

1. 変位の比 $\delta_y/\delta_x$ を求めよ。
2. $\theta=45^\circ$ のとき、$\delta_y$ を求めよ。
3. $\theta=60^\circ$ のとき、$\delta_y$ を求めよ。

题目描述

三根直径为 $d$、杨氏模量为 $E$ 的弹性杆 AG、BG、CG 与 L 形刚体 GFD 组成图示结构，圆圈表示铰接。AG、GF、FD 的长度均为 $\ell$；BG 与水平线成 $45^\circ$，CG 与水平线成 $\theta$，其中 $\ell\gg d$、$45^\circ\leq\theta\leq90^\circ$。在 G 点逐渐施加竖直向下的力至 $P$，其向右、向下位移分别记为 $\delta_x,\delta_y$。求两位移之比，以及 $\theta=45^\circ$、$60^\circ$ 时的 $\delta_y$。

Kai

(1)

剛体 GFD は固定されたピン D のまわりに微小回転する。DG の水平・鉛直成分はともに長さ $\ell$ であるから、G の変位は DG に垂直となり、

$$\boxed{\frac{\delta_y}{\delta_x}=1}.$$

以下、$u=\delta_x=\delta_y$、弾性棒の断面積を $A_0=\pi d^2/4$ とする。各棒の軸方向伸びは

$$\lambda_{AG}=u,\qquad \lambda_{BG}=\frac{-u+u}{\sqrt2}=0,\qquad \lambda_{CG}=u(\sin\theta-\cos\theta).$$

棒の長さは $L_{AG}=\ell$、$L_{BG}=\sqrt2\ell$、$L_{CG}=\ell/\sin\theta$ なので、ひずみエネルギーは

$$U=\frac{EA_0}{2\ell} \left[1+\sin\theta(\sin\theta-\cos\theta)^2\right]u^2.$$

$\partial(U-Pu)/\partial u=0$ より

$$u=\frac{P\ell}{EA_0\left[1+\sin\theta(\sin\theta-\cos\theta)^2\right]}.$$

(2)

$\theta=45^\circ$ では CG も一次の伸びを生じない。したがって

$$\boxed{\delta_y=\frac{P\ell}{EA_0}=\frac{4P\ell}{\pi Ed^2}}.$$

(3)

$\theta=60^\circ$ を代入すると

$$1+\sin60^\circ(\sin60^\circ-\cos60^\circ)^2 =\frac{1+2\sqrt3}{4}.$$

よって

$$\boxed{\delta_y=\frac{4P\ell}{(1+2\sqrt3)EA_0} =\frac{16P\ell}{(1+2\sqrt3)\pi Ed^2}}.$$